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Aplicaciones de la derivada
Ecuación de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho
punto.

La recta tangente a una curva en un punto x=a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya
pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta3x + y -2 =0.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
m = −3
f'(a) = 2a - 5
2a − 5 = −3a = 1
P(1, 2)
y − 2= -3 (x − 1)

y = -3x + 5

Ecuación de la recta normal

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La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la
pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de lafunción en dicho punto.

La ecuación de la recta normal a una curva en el punto (a, f(a)) será pues:

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la
bisectriz del primer cuadrante.

Sea el punto de tangencia (a, b)
m=1
f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m=1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1

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Crecimiento y decrecimiento
Función estrictamente creciente

Función creciente

Función estrictamente decreciente

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Función decreciente

Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Crecimiento
Si f es derivable en a:

Decrecimiento
Si f es derivable en a:

Ejemplo:
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
f(x) = x3 − 3x+ 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de
discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo,y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
4

Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento ydecrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1)

(1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)
E je mp l o :
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

Extremos relativos o locales: máximos y mínimos
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Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f'(a) = 0.
2. Si f''(a) ≠ 0.
Máximos relativos o locales
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o localsi se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos relativos o locales
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
E je mp l o :
Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x =−1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada
primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)Concavidad y convexidad
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Se adopta el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
E je mp l o :
Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
2. Formamos...