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Transformaciones lineales

Una aplicación T: Rn → Rm
Es llamada transformación lineal si preserva la estructura lineal (suma y producto por escalar):
1. Si ~x, ~y ∈ Rn, entonces T (~x + ~y) = T (~x) + T (~y).
2. 2 Si ~x ∈ Rn y α ∈ R, entonces T (α~x) =αT (~x).
Como consecuencia de esta definiciòn es fácil observar que una transformación lineal toma combinaciones lineales α1~x1 + α2~x2 + · ··+αk~xk de vectores en Rn y las lleva a transformaciones lineales de vectores en Rm:
T (α1~x1 + α2~x2 + · · · + αk~xk) = α1T (~x1) + α2T (~x2) + · · · + αkT (~xk).
En particular, por ejemplo, podemos probar que la imagen del cero ~0 ∈ Rn bajo una transformación lineal debe ser el cero ~0 ∈ Rm:
T (~0) = T (~x + (−~x)) = T (~x) − T (~x) = ~0.

Ejemplo:
1. Sean V y W dos K-espaciosvectoriales. Entonces 0: V → W, definida por 0(x) = 0W v x 2 V, es una transformación lineal.
2. Si V es un K-espacio vectorial, id: V V definida por id(x) = x es una transformación lineal.
3. Sea A € Km x n. Entonces fA: Kn→ Km definida por fA(x) = (A: xt) t es una transformación lineal.
4. f: K [X] → K [X], f (P) = P` es una transformación lineal.


Núcleo de una transformación lineal

A unatransformación lineal f: V→ W podemos asociarle un subespacio de V, llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva.

Ejemplo:
Sea f: R3 → R2 la transformación lineal definida por f(x1; x2; x3) = (x1; x2). Entonces
Nu (f) = {f(x1; x2; x3) € R3: f(x1; x2;x3) = 0}
= {f(x1; x2; x3) € R3: x1 = x2 = 0}
= < (0; 0; 1) >.
La siguiente proposición da una manera de determinar si una transformación lineal es un monomorfsmo considerando simplemente su núcleo.


Imagen de una transformación lineal.

Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T: V → W una transformación lineal.
Entonces: imag V = {w ∈ W: w = Tv para alguna v ∈V}
Elconcepto imag T es simplemente el conjunto de "imágenes" de vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, diremos que w es también la imagen de v bajo T.
Teorema: Si T: V → W es una transformación lineal, entonces:
1. ker T es un subespacio de V.
2. imag T es un subespacio de W.
Demostración
1. Sean u y v en ker T; entonces T (u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(αu) = αTu = α0= 0de modo que u + v y αu están en ker T.
2. Sean w y x en imag T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V. Esto significa que T (u + v) = Tu + Tv = w + x y T (αu) = αTu = αw. De esta manera w + x y αw están en imag T.


Ejemplo:
Sea Tv = 0 para todo v ∈ V. (T es la transformación cero.) Entonces ker T = V e imag T = {0}.

Demostración de los teoremas sobre la dimensión delnúcleo, dimensión de imagen y espacio de columna de una matriz.

Los subespacios pueden ser utilizados para describir las características de una matriz A de m x n.  Existen dos subespacios importantes que se pueden asociar con la matriz A: el espacio nulo (kernel o núcleo) y el rango (o imagen).
El espacio nulo de una matriz se puede definir como:

Esto es, es el conjunto de todas lassoluciones del sistema. Estos conceptos también se aplican para las transformaciones lineales.  Sea una transformación lineal T tal que. El espacio nulo se define como:

Se le denomina nulidad, , a la dimensión de N.  Se le representa como.
El otro subespacio mencionado es la  imagen de una matriz.  Este se define como:

La imagen de una transformación lineal está dada por

  Con lamatriz A de  se puede formar un espacio renglón   RA,  considerando como vectores a los renglones de la matriz A.  El subespacio generado es de n.
Por otra parte, se puede formar un espacio columna   CA, considerando como vectores a las columnas de la matriz A.  Estos vectores generan un subespacio en m.
La dimensión del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A recibe el nombre de...