jkhgjkhuihjk

Colecci´n de ejercicios resueltos:
o
Variable Compleja y An´lisis Funcional
a
Propuestos por Fernando Bombal Gord´n
o
´
Redactados por Alvaro S´nchez Gonz´lez
a
a

Ejercicio 1 Est´diese en qu´ puntos de C la siguiente funci´n es R-diferenciable, en cu´les
u
e
o
a
se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann, en cu´les es C-diferenciable y si es holoa
morfa en alg´n abierto,calculando la derivada en los puntos en que ´sta exista:
u
e
h(z) =

x
x2 +y 2

y
− i x2 +y2 si (x, y) = (0, 0) y 0 en otro caso.

Soluci´n. En primer lugar, podemos identificar el plano complejo C con el plano real de
o
dos dimensiones R2 de una forma natural mediante la aplicaci´n que a cada par (x, y) ∈
o
R2 le asocia x + iy ∈ C. Haciendo esta identificaci´n, podemos interpretar unafunci´n de
o
o
una variable compleja en t´rminos de dos funciones reales de dos variables reales. Es decir,
e
identificando z = x+iy con (x, y) podemos entender una funci´n f (z) como u(x, y) +iv(x, y).
o
Las funciones u, v : R2 → R reciben el nombre de parte (o componente) real e imaginaria
respectivamente de la funci´n f.
o
Sabemos que una funci´n f : R2 → R2 es R-diferenciable si lo sonambas componentes, y
o
ser´ C-diferenciable si y s´lo si, adem´s, se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann. En
a
o
a
este caso el valor de la derivada en un punto viene dado por:
∂u
∂v
∂u
∂u
+i
=
−i
=
∂x
∂x
∂x
∂y
∂v
∂u
∂v
∂v
=
−i
=
+i .
∂y
∂y
∂y
∂x

f (z) =

Estudiemos qu´ ocurre con la funci´n h(z). Sean u(x, y) =
e
o
Entonces
∂u
−x2 + y 2
∂u
−2xy
=2
,
= 2
,
∂x
(x + y 2 )2
∂y
(x + y 2 )2

x
x2 +y 2

y v(x, y) =

−y
.
x2 +y 2

∂v
−x2 + y 2
= 2
.
∂y
(x + y 2 )2

∂v
2xy
= 2
,
∂x
(x + y 2 )2

luego las derivadas parciales existen y son continuas (en todo punto salvo en 0), con lo que
h es una funci´n R-diferenciable en R2 \ {0}. Adem´s se cumplen las condiciones de Cauchyo
a
Riemann pues
∂u
−x2 + y 2
∂v
= 2=
,
2 )2
∂x
(x + y
∂y
∂u
2xy
∂v
= 2
=− ,
2 )2
∂y
(x + y
∂x
luego h es una funci´n C-diferenciable en C \ {0}.
o
Justifiquemos la afirmaci´n realizada de que la funci´n no es siquiera R-diferenciable en
o
o
(0, 0). En este caso tendr´
ıamos que los l´
ımites
1
u(h, 0) − u(0, 0)
= l´
ım 2 ,
h→0
h→0 h
h
l´
ım

v(0, h) − v(0, 0)
1
= l´ − 2 ,
ım
h→0
h→0 h
h
l´ım

1

no existen y por tanto la funci´n no es R-diferenciable y como consecuencia tampoco es
o
C-diferenciable.
En el caso en el que la funci´n cumple las condiciones de Cauchy-Riemann, sabemos que
o
existe la derivada y su valor es
f (x, y) =

−x2 + y 2
2xy
+i 2
.
2 + y 2 )2
(x
(x + y 2 )2

De hecho, si z = x + iy, se tiene que h(z) = z /|z|2 y por las reglas conocidas dederivaci´n
¯
o
se obtiene que
−1
h (z) = 2 para todo z ∈ C \ {0}.
z
De aqu´ se deduce inmediatamente que la funci´n h es diferenciable en C \ {0} y no es ni
ı
o
siquiera continua en 0.

Ejercicio 2 Calc´lese
u

γ

f (z)dz en los siguientes casos:

a) f (z) = z con γ la circunferencia de centro 0 y radio 2 positivamente orientada;
¯
b) f (z) = z con γ la semicircunferencia unitariaque pasa por −i, 1, i en ese orden;
c) f (z) =

1
z

con γ la poligonal que une los puntos 1, −i, −1, i en ese orden.

Soluci´n. Utilizaremos aqu´ las integrales sobre caminos parametrizados por una curva:
o
ı
Si γ : [a, b] → C es un camino parametrizado y f (z) un funci´n compleja continua sobre
o
la trayectoria del camino, tenemos que la integral de la funci´n f a lo largo delcamino γ es
o
b

f (z)dz =
γ

f (γ(t))γ (t)dt.
a

Por tanto, basta con parametrizar los caminos que se proponen. En el caso a), una
parametrizaci´n es γ(t) = 2eit con t ∈ [0, 2π], y por tanto
o
2π

f (z)dz =
γ

2π

2e−it 2ieit dt = 4i

0

dt = 8πi.
0

En el supuesto b) tenemos la parametrizaci´n γ(t) = eit con t ∈ [−π/2, π/2] y puesto que
o
(eit ) = (cos t + i sin t) =...