jordan

2. 0v = 0, v ∈ V .
3. (−λ)v = −(λv), λ ∈ R, v ∈ V .
4. Si λv = 0, entonces λ = 0 o v = 0.
A continuaci´on, damos algunos ejemplos de espacios vectoriales:
1. Si n es un n´umero natural, se considera el espacio eucl´ıdeo Rn = {(x1, . . . , xn); xi ∈
R} con la suma y producto por escalares siguientes:
(x1 . . . , xn) + (y1, . . . , yn)0(x1 + y1, . . . , xn + yn).
λ(x1, . . . , xn) = (λx1, .. . , λxn).
Siempre se supondr´a que Rn tiene esta estructura vectorial y que llamaremos
usual.
2. Sea V = {(x, y) ∈ R2; x − y = 0} con la suma y producto por escalares como
antes.
3. Sea V = {p} un conjunto con un ´unico elemento y con p + p = p y λp = p.
4. Sea V = {f : R → R; f es aplicaci´on} y
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λf(x), x∈ R.
5. W = {f : R → R; f es una funci´ondiferenciable} y la suma y el producto por
escales est´a definido de forma an´aloga a la del ejemplo anterior.
6. Se considera el conjunto de los polinomios de grado n ∈ N: un polinomio
de grado n ∈ N es una expresi´on del tipo p(X) = a0 + a1X + . . . + anXn;
abreviaremos p(X) =
_n
i=1 aiXi, donde por convenio X0 = 1 y en vez de
escribir a01 = a0. Dos polinomios p(X) =
_n
i=1 aiXi y q(X) =
_ni=1 biXi se
dir´an iguales si ai = bi para cada i. El conjunto de polinomios de grado n
Se prohibe cualquier reproducci´on sin permiso del autor 3
|fvEntonces Pn[X] es un espacio vectorial.
7. Sea X = {a1, . . . , an} un conjunto con n elementos. Se define una palabra
formada por el conjunto X como una expresi´on del tipo x1a1 + . . . + xnan,
donde xi ∈ R. Dos palabras x1a1 + . . . + xnany y1a1 + . . . + ynan son iguales
si xi = yi. Se define V el conjunto de todas las palabras y se define
(x1a1 + . . . + xnan) + (y1a1 + . . . + ynan) = (x1 + y1)a1 + . . . + (xn + yn)an.
λ(x1a1 + . . . + xnan) = (λx1)a1 + . . . + (λxn)an.
Entonces V es un espacio vectorial. Como ejemplo, el conjunto de palabras
definidas por {1,X, . . .,Xn} constituyen el espacio Pn[X].
A continuaci´ondefinimos estructuras de espacio vectorial a partir de la teor´ıa de
conjuntos. Concretamente, a partir del producto cartesiano, aplicacines biyectivas,
espacios cocientes y subconjuntos.




Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K conrespecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:
1. 0єW
2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
3. W es cerrado bajoel producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.


Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:
1. 0єW.
2. au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.


Ejemplo: sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UW es también subespacio de V. claramente, 0U y 0W, porque U y W son subespacios, de donde 0UW. supongamosahora que u, vUW. entonces u, vU y u, vE y, dado que U y W son subespacios, u+v, kuU y u+v, kuW para cualquier escalar k. así u+v, kuUW y por consiguiente UW es un subespacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que toda solución de unsistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0W además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0,...