jorge enriquez

La ley de Biot Savart
A principios del otoño de 1820, los científicos franceses Biot y Savart miden la
dirección de las oscilaciones de una aguja imantada según la distancia a una corriente
eléctrica rectilínea, comprobando empíricamente que la fuerza producida por dicha
corriente eléctrica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia y
directamente proporcional a la intensidadde la misma. Basándose en estos
resultados, Laplace dedujo matemáticamente la ley de Biot-Savart, que por lo tanto es
conocida también como ley de Laplace, y que permite calcular el campo magnético B
creado por un circuito de forma cualquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, ut es un vector
unitario cuyadirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la
corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl. ur es un vector unitario
que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, μ0
-7
Tesla .m/ A en el Sistema Internacional de Unidades.
Estudiaremos, en primer lugar, el campo creado por una espira.

Campo producido por una espira
En la figura, semuestra una espira circular de radio a, recorrida por una corriente de
intensidad i. El punto P está sobre el eje de la espira a una distancia z de su centro.
Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. La ley de Biot nos
permite calcular el campo magnético creado por dicho elemento de corriente.

Fijarse que los vectores unitarios ut y ur forman 90º. El vector campo magnéticodB
tiene dos componentes:
de la espira dB·cos(90-θ),
dB·sen(90-θ )
Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos
diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante
está dirigido a lo largo del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya
que r es constante y q es constante

En el centro de la espiraz=0, tenemos

El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la mano derecha.
Cuando se disponen varias espiras iguales, igualmente espaciadas, se va creando un
campo cuya dirección es cada vez más paralela al eje común de las espiras, a medida
que se incrementa su número

Campo producido por un solenoide en un punto de su eje
Vamos a calcular el campo producido por elsolenoide en un punto P situado en el eje
del solenoide sumando el campo producido por las N espiras.

En la figura, tenemos un corte longitudinal de un solenoide de longitud L, formado por
N espiras iguales de radio a.
Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma dirección
y sentido, pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.
El número deespiras que hay en el intervalo comprendido entre x y x+dx es
dn=N·dx/L
Estas espiras producen en P un campo que es el producto del campo producido por
una espira por el número dn de espiras

Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a=x·tanθ, y teniendo en
cuenta que 1+tan2θ =1/cos2θ, simplificamos mucho la integral

Si el solenoide es muy largo comparado con su radio a y si elpunto P está situado en
el centro, tendremos que θ 1→π, y θ 2→0. El campo B vale entonces

Representamos ahora, el campo B dentro de la región cercana a los extremos del
solenoide, en función de la posición x del punto P, situando el origen de coordenadas
en el centro del solenoide, tal como se muestra en la figura

El campo magnético es máximo en el centro del
solenoide, en los extremosdel solenoide se
reduce a la mitad.
En la situación ideal de un solenoide formado por
un número grande de espiras apretadas, cuya
longitud es grande comparada con su diámetro,
el campo en el interior es casi uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy
pequeño. En estas condiciones es aplicable la ley de Ampère, para determinar el
campo magnético en el interior del solenoide....