jorge
Páginas: 3 (527 palabras)
Publicado: 16 de noviembre de 2013
100
Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.6 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Estudiar la Sección 15.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 23)
Ejemplo 1en Coordenadas Cilíndricas:
∫∫∫
Evalúe la integral triple:
x 2 + y 2 dV , en donde E es el volumen dentro del
E
2
2
cilindro x + y = 1 , debajo del plano z = 4 , y arriba delparaboloide
z = 1− x2 − y2
∫∫∫
x 2 + y 2 dV =
2π
1
∫ ∫∫
0
0
1− r
E
2π
=
1
∫ ∫ [r z ]
2
0
=
∫
4
1− r 2
2π
4
2π
dr dθ =
0
r dz r dr dθ =2
∫ ∫
0
∫ ∫
−2
+ 4− x 2
− 4− x
2
∫
2
2
x +y
2
(x
2
1− r
)]
∫
r 2 dz dr dθ =
2
2π
1
∫ ∫ (3r
0
2π
dθ =
0
)
+ y 2 dz dy dx2
)
+ r 4 dr dθ =
0
6
12π
⋅ 2π =
5
5
Ejemplo 2 en Coordenadas Cilíndricas:
+2
4
r 2 4 − 1 − r 2 dr dθ =
1
0
[ (
0
0
3 r5
1
r + dθ = 1 +
50 5
2π
∫ ∫∫
0
1
1
Evalúe la integral
cambiando a coordenadas cilíndricas,
Solución:
La curva de intersección del cono z = x 2 + y 2 , y el plano z = 2 , es el círculo dex 2 + y 2 = 4 , que limita la región de integración:
2π
2
∫ ∫∫
0
0
2π
=
∫ ∫
0
2
r 2 dz r dr dθ =
2
∫ ∫∫
0
r
2
2π
(2r
3
0
8
16π
= ⋅ 2π =
5
5−r
4
0
)dr dθ = ∫
2π
0
2
r 3 dz dr dθ =
2π
2
∫ ∫ [r z ]
3
2
r
dr dθ =
0
r
2
r 4 r5
− dθ =
2 50
∫
0
2π
32
8 − dθ =
5
0
101
Ejemplo 3 en coordenadas esféricas: Evalúe la integral
{
∫∫∫
e (x
2
+ y2 + z2
)3 2 dV , en
E
}
donde E = ( x, y, z ) x + y + z = 1
2
2
2Solución:
∫∫∫
e (x
2
3
) 2 dV =
+ y2 + z2
π
2π
∫ ∫ ∫
0
0
1
3
e ρ ρ 2 senϕ dρ dθ dϕ =
0
1
3
π
2π
∫ ∫ [e ]
0
ρ3
1
0
senϕ dθ dϕ
0
E
1...
Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.6 : Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
(Estudiar la Sección 15.8 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 23)
Ejemplo 1en Coordenadas Cilíndricas:
∫∫∫
Evalúe la integral triple:
x 2 + y 2 dV , en donde E es el volumen dentro del
E
2
2
cilindro x + y = 1 , debajo del plano z = 4 , y arriba delparaboloide
z = 1− x2 − y2
∫∫∫
x 2 + y 2 dV =
2π
1
∫ ∫∫
0
0
1− r
E
2π
=
1
∫ ∫ [r z ]
2
0
=
∫
4
1− r 2
2π
4
2π
dr dθ =
0
r dz r dr dθ =2
∫ ∫
0
∫ ∫
−2
+ 4− x 2
− 4− x
2
∫
2
2
x +y
2
(x
2
1− r
)]
∫
r 2 dz dr dθ =
2
2π
1
∫ ∫ (3r
0
2π
dθ =
0
)
+ y 2 dz dy dx2
)
+ r 4 dr dθ =
0
6
12π
⋅ 2π =
5
5
Ejemplo 2 en Coordenadas Cilíndricas:
+2
4
r 2 4 − 1 − r 2 dr dθ =
1
0
[ (
0
0
3 r5
1
r + dθ = 1 +
50 5
2π
∫ ∫∫
0
1
1
Evalúe la integral
cambiando a coordenadas cilíndricas,
Solución:
La curva de intersección del cono z = x 2 + y 2 , y el plano z = 2 , es el círculo dex 2 + y 2 = 4 , que limita la región de integración:
2π
2
∫ ∫∫
0
0
2π
=
∫ ∫
0
2
r 2 dz r dr dθ =
2
∫ ∫∫
0
r
2
2π
(2r
3
0
8
16π
= ⋅ 2π =
5
5−r
4
0
)dr dθ = ∫
2π
0
2
r 3 dz dr dθ =
2π
2
∫ ∫ [r z ]
3
2
r
dr dθ =
0
r
2
r 4 r5
− dθ =
2 50
∫
0
2π
32
8 − dθ =
5
0
101
Ejemplo 3 en coordenadas esféricas: Evalúe la integral
{
∫∫∫
e (x
2
+ y2 + z2
)3 2 dV , en
E
}
donde E = ( x, y, z ) x + y + z = 1
2
2
2Solución:
∫∫∫
e (x
2
3
) 2 dV =
+ y2 + z2
π
2π
∫ ∫ ∫
0
0
1
3
e ρ ρ 2 senϕ dρ dθ dϕ =
0
1
3
π
2π
∫ ∫ [e ]
0
ρ3
1
0
senϕ dθ dϕ
0
E
1...
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