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FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Curso Docente : MATEMÁTICA BÁSICA II : ING. RAÚL MATOS ACUÑA Aula Periodo : B505/B203 : 2012–I

NÚMEROS COMPLEJOS
Se tiene que: x  a ; si a  0 , no existe ningún número real que satisfaga esta ecuación; por lo tanto, para resolver la ecuación incluimos la expresión siguiente:
2

A

i  1,

tal que

i 2  1

; ésta expresión esllamada número imaginario.

Definición.- el conjunto de todos los números de la forma
2

a  bi

, donde

a,b R

e

i  1 se denomina el conjunto de los números complejos y se denota por C, así:

C   a , b )  a  bi / a , b  R , i 2  1 (
Los elementos de C se denotan por: v, w, z, etc. De modo que: z  C  z  ( a , b ) . La combinación de los C con los R se llama sistema delos números complejos.

SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS El conjunto C de todos los pares ordenados de número reales, provisto de una relación de equivalencia y dos operaciones de adición y multiplicación, tales que, para dos elementos cualesquiera ( a , b )  C y ( c , d )  C , se tiene: 1. igualdad: 2. Adición: 3. Multiplicación:

( a,b)  ( c ,d )  a  c  b  d ( a,b)  ( c ,d )  ( a  c,b  d ) ( a , b ).( c , d )  ( ac  bd , ad  bc )

PROPIEDADES Para todo z 1 , z 2 , z 3  C , se cumple que: A) Para la suma A1: z 1 , z 2  C  ( z 1  z 2 )  C A2: A3:

z1  z 2  z 2  z1 ( z1  z 2 )  z 3  z1  ( z 2  z 3 )
z 0  ( 0,0) , tal que:
z1  z0  z1

A4: Existe un único elemento neutro aditivo

A5. Existe un único elemento inverso aditivo  z  C , tal que:

z ( z )  z 0  0

B) Para la multiplicación: M1: z 1 , z 2  C  ( z 1 .z 2 )  C M2: M3:

z 1.z 2  z 2 .z 1 ( z 1.z 2 ).z 3  z 1.( z 2 .z 3 )

M4: Existe un único elemento neutro multiplicativo w  ( 1,0 ) , tal que

z .w  z
1

M5: Existe un único elemento inverso multiplicativo

z 1  C

, tal que:

z .z
M6:

 z .z  w  ( 1,0)
1

z 1.( z 2  z 3 )  z 1.z 2  z1.z 3

Demostraciones 1. Demostrar las propiedades: A5, M4, M5. A5: …………. M4: ………… M5: ………..

Según la propiedad M5 se puede definir: Luego se tendrá que:

z 1  z .( )  z .( w ) w w
1

z ( a , b )  ac  bd bc  ad    ;  w ( c ,d )  c 2  d 2 c 2  d 2 
Nota: para todo número C:

( a , b )  ( a , o )  ( 0, b )  a  bi
Donde:

a  parte real de C b  parte imaginaria deC.

FORMA CARTESIANA DE UN C El número complejo imaginario cuya segunda componente es la unidad, se denomina unidad imaginaria y se denota por:

i  ( 0,1) .

Luego se deduce que:

i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8

 1 de donde i   1  i 2 .i  ( 1).i  i  i 2 .i 2  ( 1).( 1)  1

i  1  i 1

Por lo tanto:

i n  i 4k r

Forma cartesiana, rectangular, canónica o binómica: Serepresenta por:

z  a  bi
a  Re( z )
CONJUGADO DE UN C Si y

b  Im( z )

z  a  bi

es un número complejo, entonces

z  a  bi

se llama conjugado de z.

PROPIEDADES SI

z1 , z 2 c

, entonces se cumple que:

z  z  2. Re( z )
1.

z .z  R  ( z .z )  0

2. 3. 4. 5.

z1  z 2  z1  z 2

z 1 .z 2  z 1.z 2
(z)  z
Re( z )  z z
2 z z Im( z )  2i

6.7. “z” es un número real si:

z z

MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN C

Dado z  a  bi , el módulo de z es la raíz cuadrada no negativa de la suma de la parte real e imaginaria, así:

z  a2 b2

PROPIEDADES Para todo 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

z, z1 , z 2

complejos, se cumple que:

z 0 ; z 0  z 0
Re( z )  z y Im( z )  z
z  z  z

z  z.z
2

z1 . z 2  z1 . z 2

z1 z1 , siempre que z 2  0 z2 z2
z1  z 2  z1  z 2

FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea z  x  deduce que:

yi

un complejo no nulo, y sea θ un ángulo en posición normal en radianes, se

De la figura:

x  r. cos  y  r.sen

Luego:

z  r (cos  isen )
también se le llama forma trigonométrica.

r  Módulo o norma de z   Argumento de z

Observaciones: a) El número...