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Propiedades de la Transformada de Fourier
Demostraciones
W. Colmenares
Universidad Sim´n Bol´
o
ıvar, Departamento de Procesos y Sistemas

Resumen
Algunas propiedades de la transformada deFourier y sus demostraciones. Observe
que las Series de Fourier comparten la mayor´ de las propiedades de la Transforıa
mada de Fourier y que es f´cil extrapolar las propiedades de las Series a partirde
a
las de las transformadas.

1.

Generalidades

En general, para una se˜al x(t) su transformada de Fourier, que asumiremos
n
conocida, ser´ X(jω). Es decir:
a
F[x(t)] = X(jω) ´ F−1[X(jω)] = x(t).
o

2.

Linealidad

F[x(t) + y(t)] = X(jω) + Y (jω)

2.1. Demostraci´n
o

∞

∞
−jωt

F[x(t)+y(t)] =

(x(t)+y(t))e
−∞

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dt =

∞x(t)e
−∞

−jωt

dt+

y(t)e−jωt dt = X(jω)+Y (jω)

−∞

5 de junio de 2007

3.

Semejanza

F[X(t)] = 2πx(−jω).

3.1. Demostraci´n
o
Note que:
∞

X(jω) =

x(t)e

−jωt

−∞

1dt = y x(t) =
2π

∞

X(jω)ejωt dω;
−∞

por lo que si reemplazamos jω por −t, y viceversa, en ambas expresiones,
recuperamos la otra por un factor de 2π.

4.

Desplazamiento en el tiempoF[x(t − t0 )] = e−jωt0 X(jω)

4.1. Demostraci´n
o

1
x(t) =
2π

∞
jωt

X(jω)e
−∞

1
dω ⇒ x(t − t0 ) =
2π

∞

X(jω)ejω(t−t0 ) dω
−∞

luego
1
x(t − t0 ) =
2π

5.

∞e−jωt0 X(jω) ejωt dω
−∞

F[x(t−t0 )]

Conjugaci´n y Simetr´
o
ıa

F[x∗ (t)] = X ∗ (−jω)
2

5.1. Demostraci´n
o



∗

∞
−jωt

X(jω) =

x(t)e

∞
∗

dt

x∗ (t)ejωt dt⇒ X (jω) =
−∞

−∞

luego
∞
∗

x∗ (t)

X (−jω) =

e−jωt dt

−∞ F−1 [X ∗ (−jω)]

5.2. Corolario
En las se˜ales reales se cumple que x(t) = x∗ (t) luego
n
∞

∞
∗

x (t)−jωt

e

dt =

e−jωt dt

x(t)
−∞ F−1 [X(jω)]

−∞ F−1 [X ∗ (−jω)]

por lo que: X ∗ (−jω) = X(jω) ´ X ∗ (jω) = X(−jω).
o

6.

Transformada de la derivada

F[ dx(t) ] = jωX(jω)
dt...