La Ciencia

Existence d’applications harmoniques tordues
` valeurs dans les vari´t´s ` courbure n´gative.
a
ee a
e

Fran¸ois LABOURIE
c

Ce papier fait suite a une suite d’articles ([D],[C]), ´tudiant les applications
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harmoniques tordues. Le probl`me est le suivant:
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On se donne une vari´t´ N , dont le revˆtement universel est N , une vari´t´
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ee
M simplement connexe a courburen´gative ou nulle, et une repr´sentation ρ de
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π1 (N ) dans le groupe des isom´tries de M . Une application tordue par ρ est alors
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une application de N dans M ρ-´quivariante, ce qui peut s’interpr´ter comme
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une section du M -fibr´ plat de base N et associ´ naturellement a ρ. Il s’agit
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maintenant d’obtenir une condition sur Im(ρ) permettant d’assurer l’existenced’une application harmonique tordue par ρ. Par exemple, Im(ρ) cocompact suffit
selon les r´sultats c´l`bres de Eells et Sampson [E.S].
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Le r´sultat principal de Corlette r´pond a cette question dans le cas o` M
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est un espace riemannien sym´trique de type non compact:
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Th´or`me. (Corlette) Il existe une application harmonique tordue par ρ a
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valeur dans G/K si et seulementsi Im(ρ) est un sous-groupe r´ductif de G.
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Corlette utilise ce r´sultat comme un point de d´part de sa th´orie de la
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superrigidit´. Dans ce mˆme article, il s’interroge sur une possible g´n´ralisation
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de ce r´sultat et une d´monstration plus reli´e a la g´om´trie des vari´t´s a coure
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bure n´gative. Nous nous proposons ici d’en donner une extension, moduloune
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condition sur la cible M , a laquelle on demande d’ˆtre sans demies-bandes plates
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(1.1.). Cette condition, quoique restrictive, est satisfaite par exemple dans le cas
des vari´t´s analytiques re´lles ou des vari´t´s a courbure strictement n´gative.
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Moyennant une d´finition g´om´trique de la condition de r´ductivit´ (1.3.), nous
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obtenons lag´n´ralisation suivante du th´or`me de Corlette:
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Th´or`me. Si M est sans demies-bandes plates, il existe une application
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harmonique tordue par ρ, si et seulement si Im(ρ) est un sous-groupe r´ductif des
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isom´tries de M .
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Remarquons, que la condition de r´ductivit´ reste suffisante si l’on supe
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prime l’hypoth`se ”sans demies-bandes plates” (3.6.).
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La d´monstration de Corlette reposesur l’´tude d’une ´quation d’´volution
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sur la connexion induite sur un fibr´ associ´. La nˆ tre r´utilise les r´sultats de
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[E.S], et la g´om´trie des vari´t´s a courbure n´gative ou nulle (sph`re a l’infini,
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e`
horosph`res et flots horosph´riques), telle qu’elle est ´tudi´e dans [E.O] et [B.G.S]
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par exemple.

1

D´finitions
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Lesvari´t´s a courbure n´gative ou nulle qui nous int´ressent sont celles
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qui satisfont au crit`re suivant:
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1.1 Bandes plates. Une vari´t´ simplement connexe a courbure n´gative ou
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nulle est dite sans demies-bandes plates, si tout champ de Jacobi, d´fini le long
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d’une g´od´sique, dont la norme est constante pour les temps sup´rieurs a un
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`
temps donn´, a unenorme constante pour tout temps.
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1.2

Remarques.
(i) Cette propri´t´ est la version infinit´simale de la propri´t´ suivante:
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toute demie-bande plate peut ˆtre ´tendue en une bande plate enti`re.
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(ii) Les vari´t´s a courbure strictement n´gative, les vari´t´s analytiques
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ee
r´elles et en particulier par les espaces sym´triques sont sans demies-bandes plates.
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Nous allons finir de donner les d´finitions n´cessaires a l’´nonc´ de notre
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r´sultat en d´finissant un
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1.3 Groupe r´ductif. Un sous-groupe G du groupe des isom´tries d’une
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vari´t´ simplement connexe M a courbure n´gative ou nulle est r´ductif s’il existe
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un convexe ferm´ C de M , fix´ globalement par G, tel que
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- le convexe C est isom´trique a...