La Controvèrsia Sobre Els Fonaments De La Matemàtica. Les Limitacions Internes Dels Sistemes Formals

1

Introducci´ o

Abans de comen¸ar hem de definir qu` entenem per fonamentaci´ de la Matem`tica: ´s l’inc e o a e tent d’elucidar en qu` consisteix i qu` garanteix la veritat de les proposicions matem`tiques. e e a Dit d’una altra manera, ¿en qu` ens podem basar per afirmar que un fonament matem`tic e a ´s cert? e Qualsevol teoria matem`tica est` fonamentada sobre unes bases que es considerenevidents a a i s´n acceptades sense requerir una demostraci´: s´n els anomenats axiomes, els punts de o o o ´ partida per comen¸ar a construir. Es semblant la noci´ de postulat, amb la difer`ncia que c o e un postulat no t´ per qu` ser evident per` s’accepta perqu` no existeix un altre principi a e e o e qu` poder-lo referir. e Al llarg de la hist`ria de la Matem`tica s’ha cercat aquesta solidesaen la fonamentaci´, o a o en menor o major grau. Euclides (s. iii a.C.), en el seu primer llibre dels Elements, ja va voler tractar la Geometria d’una manera formal i sistem`tica, per aix` comen¸a amb a o c 23 definicions, 5 postulats i 5 “nocions comunes”, i en tot aix` basa les proposicions que o en segueixen. El s. xix va representar un intent de generar rigor i certesa en l’edifici de lesMatem`tiques: Peano va definir els nombres naturals a partir d’uns axiomes i regles; a Hilbert, despr´s del daltabaix que supos` el descobriment de les geometries no euclidianes, e a va refonamentar la geometria a partir d’un nou sistema d’axiomes m´s gen`ric que no e e contenia el cinqu` postulat d’Euclides (el de les paral·leles). e ¿Per` com podien estar segurs que els sistemes d’axiomes eren prou“bons”? Els mao tem`tics sempre s’han hagut d’enfrontar a situacions inesperades i sorprenents, paradoxes a que han posat en dubte aquesta bondat de les bases de l’edifici matem`tic i que sovint han a desembocat en una reformulaci´ dels axiomes. Per exemple, el descobriment de la incomo mensurabilitat va tirar per terra la ferma creen¸a de la secta pitag`rica que els nombres c o enters eren l’ess`nciade l’univers i que, donats dos segments qualssevol, sempre es podia e trobar un tercer que estigu´s contingut un nombre sencer de vegades en els dos primers; e va ser la primera crisi de fonaments en la hist`ria de la Matem`tica. La paradoxa que o a afirma que “una part d’un conjunt infinit es pot posar en correspond`ncia biun´ e ıvoca amb el tot” va ser resolta per Cantor (s. xix) despr´s d’haverdefinit els conceptes adequats per e comparar conjunts infinits, cosa que supos` una revoluci´ de la qual nasqu´ la teoria de a o e conjunts moderna. Per` aquesta teoria torn` a trontollar quan Russell (s. xx) descobr´ la o a ı paradoxa que duu el seu nom: considerem el conjunt X dels conjunts que no s´n elements o d’ells mateixos, aix` ´s, X = {A | A ∈ A}, i preguntem-nos si X pot ser un element d’elloe / mateix. Si fos X ∈ X llavors, per definici´, X verificar` X ∈ X, contradicci´. Per` si o a / o o suposem que X ∈ X, de nou per definici´ de X tenim que X ∈ X, contradicci´. Aix´ hem / o o ı, obtingut una proposici´ contradict`ria: X ∈ X ⇔ X ∈ X. o o /

1

2

La crisi fundacional. Els teoremes de G¨del o

La crisi fundacional de les Matem`tiques fou el terme emprat a principis del s. xxper a referir-se a la recerca de fonaments s`lids de les Matem`tiques. o a Despr´s que diverses escoles de filosofia de les Matem`tiques comencessin a trobar-se amb e a dificultats al s. xx, es va comen¸ar a posar en dubte l’assumpci´ que les Matem`tiques c o a tinguessin un fonament que es pogu´s establir dintre de les mateixes Matem`tiques. e a Els intents de proporcionar uns fonamentsinq¨estionables per a les Matem`tiques xocaven u a amb les conegudes paradoxes l`giques (com la que hem vist de Russell) que provocaven o situacions d’inconsist`ncia. (Un sistema d’axiomes es diu consistent si no se’n pot derivar e una proposici´ contradict`ria.) o o De les escoles filos`fiques de l’`poca, la l´ o e ıder era la formalista de David Hilbert, que culmin` a amb el programa que duia el seu nom...