La cuadratura del circulo

La Cuadratura del círculo
Desde el tiempo de Euclides la regla y el compás son las principales
Herramientas para realizar construcciones geométricas. La teoría de
Contractibilidad con regla y compás es muy vasta e iniciaremos por definir
Las operaciones que con ellos podemos realizar.
Aunque hace tiempo que se sabe que la cuadratura con regla y compás es imposible (de hecho se ha convertido en elparadigma de problema insoluble) el buscar soluciones aproximadas resulta ser un interesante desafío de geometría recreativa.
Parece que en otro tiempo hubo personas que soñando con la indudable fama que les proporcionaría resolver este problema se ofuscaron peligrosamente en él. No se pretende aquí resucitar tan peligrosa enfermedad. Se trata solo de un juego que podría tener una ciertautilidad pedagógica. Y que, al menos hasta donde yo he explorado, requiere solo unos conocimientos mas bien elementales de geometría.
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible deresolver.
La posibilidad de cuadrar superficies limitadas por curvas (superficies curvilíneas) y, en especial, la cuadratura del círculo, no habría parecido tan plausible a los griegos de no haber sido por el hecho de que Hipócrates de Quíos demostró que ciertas figuras curvilíneas construidas a propósito por él, llamadas lúnulas, podían cuadrarse. La resolución de la cuadratura de las lúnulas deHipócrates creó una falsa expectativa entre los matemáticos de la antigüedad, llevándoles a pensar que podría cuadrarse el círculo.
En el siglo XX Chebotariov y Dorodnov probaron que, en general, las lúnulas no pueden cuadrarse excepto los tres tipos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tipos más aportados por Leonhard Euler en el siglo XVIII. De esta forma quedó de manifiesto que la cuadratura de lalúnula no era otra cosa que una solución excepcional de un problema irresoluble, cosa que confundió a los matemáticos durante siglos creyendo que las lúnulas podrían acercarlos a la cuadratura del círculo.
En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente elproblema. Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja.
Siendo el área del círculo y el área del cuadrado, donde y son el radio del círculo y el lado del cuadrado respectivamente, se observa que, para el cuadrado de área igual a la del círculo, . En otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo el factor de proporción.Esto implica que, si es posible cuadrar el círculo, se puede obtener con regla y compás, es decir, se podría obtener por medio de operaciones algebraicas. Sin embargo, los números trascendentes son un subconjunto de los números reales que se caracterizan, entre otras cosas, precisamente por no ser obtenibles a partir de tales operaciones. Si es un número trascendente, como demostró Lindemann,también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo a la manera griega.
Para poder construir el cuadrado con regla y compás necesitamos
ayuda adicional, a partir de la cual sea construible. Por ejemplo, si rodamos
el círculo una vuelta sobre una línea y marcamos el inicio y el fin obtenemos
el perímetro (2 ).
En 1925 Alfred Tarski le dio un giro interesante
al problema. En vez de construirel cuadrado
con regla y compás propuso cortar al círculo en
un número finito de piezas (i.e. una partición) y
reacomodarlas para formar un cuadrado. Las piezas
no deben sobreponerse ni dejar huecos vacíos
y el reacomodo debe preservar la forma de las piezas.
Después de mucho trabajo, Tarski logró demostrar que de ser posible
la disección, el círculo y el cuadrado debían tener la misma área. La...