La Desigualdad De Schwart
Páginas: 2 (328 palabras)
Publicado: 1 de diciembre de 2012
La desigualdad de Cauchy-Schwarz
Además de la relación existe otra relación entre la norma y el producto interior llamada desigualdad de Cauchy-Schwarz:
Proposition
Sean e dos vectores en .Entonces se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
Demostraci\on. Tome valor absoluto en ambos lados de la igualdad y recuerde que .
En realidad esta desigualdad también es válida en . Parademostrar este aserto, primero debemos definir producto interior en este espacio más general, de modo tal que esta definición coincida con la dada anteriormente para el caso particular de Esto es simplede hacer ya que hemos demostrado que en se cumple la igualdad . Por consiguiente tenemos la siguiente definición:
Sean e dos vectores en . Diremos que su producto interior está definido por lasiguiente igualdad:
Proposition
El producto interior cumple con las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4. y
5.
Demostraci\on. Ejercicio.
Proposition
En el productointerior también cumple con la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
la cual, expresada usando coordenadas, es equivalente a:
Demostración. Debido a que cualquier número real (positivo o negativo) elevadoal cuadrado en mayor o igual a cero, se deduce que para todo se cumple:
Observe que hemos llegado a que para todo , se cumple la desigualdad:
en donde y .
Esto significa que el gráfico dela curva:
es una parábola abierta hacia arriba y corta al eje de las a lo más en un punto (ya que si cortara en dos puntos distintos, la parte de la parábola que quedaría entre estos dos puntosasumiría valores negativos, lo cual contradeciría el hecho que para todo real). Por lo tanto, recordando la relación que existe entre el discriminante de una ecuación de segundo grado y el número desoluciones, deducimos que dicho discriminante debe ser menor o igual a cero. Esto es:
Por lo tanto, dividiendo por 4, obtenemos que,
Extrayendo raíces cuadradas y recordando que y son...
Además de la relación existe otra relación entre la norma y el producto interior llamada desigualdad de Cauchy-Schwarz:
Proposition
Sean e dos vectores en .Entonces se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
Demostraci\on. Tome valor absoluto en ambos lados de la igualdad y recuerde que .
En realidad esta desigualdad también es válida en . Parademostrar este aserto, primero debemos definir producto interior en este espacio más general, de modo tal que esta definición coincida con la dada anteriormente para el caso particular de Esto es simplede hacer ya que hemos demostrado que en se cumple la igualdad . Por consiguiente tenemos la siguiente definición:
Sean e dos vectores en . Diremos que su producto interior está definido por lasiguiente igualdad:
Proposition
El producto interior cumple con las siguientes propiedades:
1.
2.
3.
4. y
5.
Demostraci\on. Ejercicio.
Proposition
En el productointerior también cumple con la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
la cual, expresada usando coordenadas, es equivalente a:
Demostración. Debido a que cualquier número real (positivo o negativo) elevadoal cuadrado en mayor o igual a cero, se deduce que para todo se cumple:
Observe que hemos llegado a que para todo , se cumple la desigualdad:
en donde y .
Esto significa que el gráfico dela curva:
es una parábola abierta hacia arriba y corta al eje de las a lo más en un punto (ya que si cortara en dos puntos distintos, la parte de la parábola que quedaría entre estos dos puntosasumiría valores negativos, lo cual contradeciría el hecho que para todo real). Por lo tanto, recordando la relación que existe entre el discriminante de una ecuación de segundo grado y el número desoluciones, deducimos que dicho discriminante debe ser menor o igual a cero. Esto es:
Por lo tanto, dividiendo por 4, obtenemos que,
Extrayendo raíces cuadradas y recordando que y son...
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