La filosofia moral de aristoteles

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o Facultad de Matem´ticas a

MAT1305 - Geometr´ I ıa Gu´ de ejercicios resueltos para un d´ feriado ıa ıa Ayudante: Juan Ortega Mart´ ınez → − 1. Demuestre que PL (R) = R ⇐⇒ R ∈ L, donde L = {Z ∈ R3 /Z = U + λT, λ ∈ R}, U ∈ R3 , T = 0 y PL (R) es la proyecci´n ortogonal de R sobre la recta L. o Soluci´n: o Usaremos un resultado conocido para la proyecci´nsobre una recta: o PL (R) = U + (=⇒) Por demostrar que PL (R) = R ⇒ R ∈ L Este resultado es directo, pues tomando λ = ces PL (R) = R ⇒ R ∈ L (⇐=) Por demostrar que PL (R) = R ⇐ R ∈ L En efecto, tomando U = R en (∗) tendremos que PL (R) = R + decir, PL (R) = R. Entonces tendremos que R ∈ L ⇒ PL (R) = R ∴ PL (R) = R ⇐⇒ R ∈ L 2. Dado el plano F = {Z ∈ R3 /Z • N = 0} donde N ∈ R3 y un vector Q ∈ R3con Q × N = 0, demuestre que existen dos y s´lo dos vectores R ∈ F , con |R| = 1 tales que son ortogonales a Q. o Soluci´n: o Definamos el plano W = {Z ∈ R3 /Z • Q = 0}. Tendremos que R ∈ W ∩ F , es decir, existe λ ∈ R tal que R = λ(N × Q), porque R pertenece a la recta definida por la intersecci´n de ambos planos. o Imponiendo |R| = 1 tendremos |R| = |λ(N × Q)| = |λ||N × Q| = 1 ⇒ |λ| = Con lo queobtenemos R1 = 1 (N × Q) |N × Q| y R2 = −1 (N × Q) |N × Q| 1 1 ⇒λ=± |N × Q| |N × Q| (R − R) • T |T |2 → − T = R + 0 T = R, es (R − U ) • T , tenemos que PL (R) = U + λT ∈ L, enton|T |2 (R − U ) • T |T |2 T (∗)

1

Dos soluciones y unicas. ´

3. Sean L1 = {U1 + λ1 T1 /λ1 ∈ R}, L2 = {U2 + λ2 T2 /λ2 ∈ R} con U1 , U2 ∈ R3 , T1 × T2 = 0, dos rectas. (a) Si Q1 ∈ L1 y Q2 ∈ L2 son tales que m´ ın{|P2− P1 |/P2 ∈ L2 , P1 ∈ L1 } = |Q2 − Q1 |. Demuestre que |Q2 − Q1 | = (b) Encuentre los vectores Q1 y Q2 . Soluci´n (a): o Sabemos que |P2 − P1 | es la distancia entre los puntos P1 y P2 , entonces |Q2 − Q1 | se interpreta como la m´ ınima distancia entre un punto de L1 y un punto de L2 . En otras palabras, |Q2 − Q1 | es la distancia entre dichas rectas. Mostraremos en detalle como obtener esteresultado. Si Q1 ∈ L1 ⇒ Si Q2 ∈ L2 ⇒ Q1 = U1 + λ1 T1 (1) Q2 = U2 + λ2 T2 (2) para alg´n λ1 ∈ R u para alg´n λ2 ∈ R u |(U2 − U1 ) • (T1 × T2 )| |T1 × T2 |

Restando (1) de (2) obtendremos Q2 − Q1 = (U2 − U1 ) + λ2 T2 − λ1 T1 Hay que considerar que Q2 − Q1 = µ(T1 × T2 ) (3)

(4) para alg´n µ ∈ R. Entonces, (3) y (4) implican u (5)

µ(T1 × T2 ) = (U2 − U1 ) + λ2 T2 − λ1 T1

Haciendo productopunto por (T1 × T2 ) a ambos lados de (5) obtenemos µ|T1 × T2 |2 = (U2 − U1 ) • (T1 × T2 ) (U2 − U1 ) • (T1 × T2 ) , bien definido porque T1 × T2 = 0 |T1 × T2 |2 (U2 − U1 ) • (T1 × T2 ) (T1 × T2 ) Y reemplazando en (4) obtenemos Q2 − Q1 = |T1 × T2 |2 Finalmente aplicando m´dulo o ⇒µ= (U2 − U1 ) • (T1 × T2 ) (T1 × T2 ) |T1 × T2 |2 |(U2 − U1 ) • (T1 × T2 )| |T1 × T2 | |T1 × T2 |2

|Q2 − Q1 | = =

⇒|Q2 − Q1 | = Soluci´n (b): o

|(U2 − U1 ) • (T1 × T2 )| |T1 × T2 |

es el resultado pedido

Usaremos el valor de µ encontrado en la parte (a) y la ecuaci´n (5) para obtener o 2

(U2 − U1 ) • (T1 × T2 ) (T1 × T2 ) = (U2 − U1 ) + λ2 T2 − λ1 T1 |T1 × T2 |2

(6)

Llamaremos T1 × T2 = N por comodidad y haremos producto cruz por T2 a ambos lados de (6) (U2 − U1 ) • N (N × T2 ) = (U2 − U1 )× T2 − λ1 N |N |2 y ahora calculamos producto punto por N a ambos lados para eliminar algunas cosas (U2 − U1 ) • N (N × T2 ) • N = ((U2 − U1 ) × T2 ) • N − λ1 |N |2 |N |2 0 ⇒ 0 = (U2 − U1 ) • (T2 × N ) − λ1 |N |2 despejando λ1 λ1 = Y de la ecuaci´n (1) tendremos o Q1 = U1 + (U2 − U1 ) • (T2 × N ) T1 |N |2 (U2 − U1 ) • (T2 × N ) |N |2 (|N | = 0)

No es necesario memorizar este resultado pero s´aprender a construirlo con rapidez. ı Q2 se calcula de manera similar usando la ecuaci´n (6) con T1 × T2 = N : o (U2 − U1 ) • N N |N |2 (U2 − U1 ) • N N × T1 |N |2 (U2 − U1 ) • N (N × T1 ) • N |N |2 0 0 (U2 − U1 ) • (T1 × N ) ⇒ λ2 = |N |2 Obteniendo de la ecuaci´n (2) o Q2 = U2 + (U2 − U1 ) • (T1 × N ) T2 |N |2

= = =

(U2 − U1 ) + λ2 T2 − λ1 T1

/ × T1

(U2 − U1 ) × T1 + λ2 (T2 × T1 ) /...