La mama

Extremos relativos y absolutos
Teorema 1.
Sea f una función continua de dos variables x e y definida en una región acotada cerrada R del plano xy. 1. Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor mínimo. 2. Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor máximo. |
Definición 1.
Sea f una función definida en una región R conteniendo el punto (x0,y0) 1. f(x0,y0) esun mínimo relativo de f si  f(x,y)≥ f(x0, y0) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (x0,y0). 2. f(x0,y0) es un máximo relativo de f si f(x,y)≤ f(x0, y0)para todo (x,y) en un disco abierto que contiene a (x0,y0). |
Decir que z0=f(x0,y0) es un máximo relativo de f significa que el punto (x0,y0,z0) es al menos tan alto como los puntos de su entorno en la gráfica de z=f(x,y). De formasimilar, z0=f(x0,y0) es un mínimo relativo de f si (x0,y0,z0) está al menos tan bajo como los puntos de su entorno en la gráfica.
Para localizar extremos relativos de f, investigaremos los puntos en que su gradiente es cero o no está definido. Llamaremos a tales puntos puntos críticos de f.
Definición 2
Sea f definida en una región abierta R conteniendo (x0,y0). Decimos que (x0,y0) es un puntocrítico de f si se verifica una de las siguientes afirmaciones: |
Recordemos si f es diferenciable y

entonces toda derivada direccional en (x0,y0) ha de ser cero. Eso implica que la función tiene un plano tangente horizontal en el punto (x0,y0) como se ilustra en las figuras 3 y 4. Es evidente que ese punto es candidato a que haya en el un extremo relativo.

Figura3 (Máx. Rel) Figura 4(min Rel)
Teorema 2
Si f(x0,y0) es un extremo relativo de f en una región abierta R, entonces (x0,y0) es un punto crítico de f. |
Ejemplo 1
Determinar los extremos relativos de

Solución
Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Como

se hallan definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos en que se anulan ambas derivadas parciales primeras. Para localizar estospuntos, anulamos fx y fy, y resolvemos el sistema de ecuaciones
4x+8=0 y 2y-6=0
para obtener el punto crítico (-2,3). Completando cuadrados, podemos concluir que para todo (x,y) distinto de (-2,3),

Por lo tanto, hay un mínimo relativo de f en (-2,3). El valor del mínimo relativo es f(-2,3)=3, como se ve en la figura 5.

figura 5
El ejemplo1 nos muestra un mínimo relativo para un tipo depunto crítico -aquel en que ambas derivadas parciales primeras son nulas-.
En el ejemplo 2 nos fijamos en un máximo relativo que ocurre en el otro tipo de punto crítico -aquel para el que las derivadas parciales primeras no existen-.
Ejemplo 2Determinar los extremos relativos de

Solución
Como

vemos que ambas derivadas parciales están definidas en todo el plano xy, excepto en (0,0).Además, este es el único punto crítico, ya que las derivadas parciales no pueden anularse simultáneamente salvo que x e y sean nulos. En la figura 6 vemos que f(0,0)=1. Para cualquier otro (x,y) está claro que
fx,y=1-3x2+y2 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) en un mínimo relativo. 2. Si ∆> 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) en un máximo relativo. 3. Si ∆< 0, entonces (a,b,f(a,b)) es un punto de silla.4. Este criterio no da información si d=0. |
Si ∆> 0, entonces fxx(a,b) y fyy(a,b) deben tener el mismo signo. Esto significa que se puede reemplazarfxx(a,b) por fyy(a,b) en las dos primeras partes del criterio.
Una técnica apropiada para recordar la fórmula de ∆ en el criterio anterior viene dada por el determinante
siendo fxy(a,b)=fyx(a,b) por el teorema 3.1.
Ejemplo 3Encontrar losextremos relativos de

Solución
Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Puesto que

están definidas para todo x e y, los únicos puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas parciales primeras son nulas. Para localizar estos puntos, hacemos fx(x,y) y fy(x,y) cero y obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

De la segunda ecuación vemos que x=y, y sustituyendo en la...