la paja

CALCULO DE CENTROS DE MASA
Determinar la posición del C.M. de un semicono.
Solución: I.T.I. 01, I.T.T. 01, 04
Sea el semicono de la figura orientado a lo largo del
eje X, de altura H y radio R. Dado que el plano XY es
un plano de simetría que divide al semicono en dos
mitades simétricas, el C.M. se encontrará en dicho
plano, con lo cual la coordenada z del C.M. será nula:

y
z

RPara el cálculo de la coordenada x del C.M.
dividimos al semicono en rodajas en forma de
semidiscos de radio r y espesor dx. La abertura del
cono nos da la relación entre la coordenada x y el
radio r de los semidiscos:
R r
=
H x

x

H

zC.M . = 0

y
z

r
x

⎛ R ⎞
r = ⎝ ⎠ x
H

⇒

El volumen de cada uno de los semidiscos será:
2

1
1 ⎛ R ⎞
dV = π r2 dx = π ⎝ ⎠x 2 dx
2
2 H
El volumen total del semicono será:
H

2

⌠ 1 ⎛ R ⎞ 2
1
V = ∫ dV = ⎮ π
x dx = π R 2 H
6
⌡ 2 ⎝ H ⎠
0

La coordenada x del C.M. será:
H

⌠
⎮
⎮
⌡

2

1 ⎛ R ⎞ 3
1
2
2
∫ x dV = 2 π ⎜⎝ H ⎟⎠ x dx = 8 π R H
0

⇒

xC.M . =

∫ x dV =
∫ dV

3
H
4

Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de
volumen delcálculo anterior, a pesar de que todos sus puntos no tengan la misma
coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a

x

4r
del diámetro, vamos a tomar esta posición como la
3π
representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.
una distancia

H

⌠ ⎛ 4r ⎞
⌠ ⎛ 4r ⎞ 1
∫ ysemidisco dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ 2 π r 2dx =0

H

H

3

2 3
⌠ 2 ⎛ R ⎞ 3
1 3
=⌠
⎮ r dx = ⎮ ⎝ ⎠ x dx = R H
⌡3
6
⌡3 H
0
0

y C.M . =

⇒

∫y

semidisco

∫ dV

dV

=

R
π

Calcular el centro de masas de medio paraboloide (y ≥ 0) de revolución alrededor del
eje X, cuyo radio en la base es R, la altura es H, y su vértice se encuentra en el origen de
coordenadas.
Solución: I.T.I. 03, 04, I.T.T. 01
Seael semiparaboloide de la figura
orientado a lo largo del eje X, de altura H y
radio R. Dado que el plano XY es un plano
de simetría que divide al semiparaboloide en
dos mitades simétricas, el C.M. se
encontrará en dicho plano, con lo cual la
coordenada z del C.M. será nula:
zC.M . = 0

y
z

R
x

H

Para el cálculo de la coordenada x del C.M.
dividimos al semiparaboloide en rodajasen
forma de semidiscos de radio r y espesor dx.
La ecuación del paraboloide nos da la
relación entre la coordenada x y el radio r de
los semidiscos:

y
z

r
x

x
x = k r 2 ⎫
⎪
⎬
H = k R 2 ⎪⎭

1

⇒

H
k= 2
R

El volumen de cada uno de los semidiscos será:

1
1 ⎛ R 2 ⎞
dV = π r2 dx = π ⎜ x⎟ dx
2
2 ⎝ H ⎠

⇒

⎛ R 2
r = ⎜
⎝ H

⎞ 2
x⎟
⎠

Elvolumen total del semiparaboloide será:
H

⌠ 1 ⎛ R 2 ⎞
1
V = ∫ dV = ⎮ π ⎜ x ⎟ dx = π R 2 H
4
⌡ 2 ⎝ H ⎠
0

La coordenada x del C.M. será:
a

⌠ 1 ⎛ R 2 ⎞ 2
1
2
2
∫ x dV = ⎮⌡ 2 π ⎜⎝ H ⎟⎠ x dx = 6 π R H
0

⇒

xC .M . =

∫ x dV =
∫ dV

2
H
3

Para la coordenada y del C.M. vamos a utilizar los mismos diferenciales de
volumen del cálculo anterior, a pesar deque todos sus puntos no tengan la misma
coordenada y. Sabiendo que el C.M. de un semicírculo de radio r se encuentra a
4r
una distancia
del diámetro, vamos a tomar esta posición como la
3π
representativa de cada una de las rodajas utilizadas en el apartado anterior.
H

⌠ ⎛ 4r ⎞
⌠ ⎛ 4r ⎞ 1
∫ ysemidisco dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ dV = ⎮⌡ ⎝ 3π ⎠ 2 π r 2dx =
0

H

H

⌠ 2 ⎛ R 2
2 3=⌠
r
dx
=
⎮ ⎜
⎮
⎮ 3 ⎝ H
⌡3
⌡
0

3

⎞ 2
4 3
x⎟ dx =
RH
⎠
15

0

⇒

yC .M . =

∫y

semidisco

∫ dV

dV

=

16R
15π

Determinar la posición del C.M. de una semiesfera.
Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 01, 04
Sea la semiesfera de la figura orientada con su eje de
revolución a lo largo del eje Z, y de radio R. Dado que el eje Z
es un eje de simetría...