la place

GUIA 7

La transformada de Laplace
1.

Concepto de la transformada de Laplace

Definici´n. Una funci´n u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de
o
o
∞
Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral 0 e−st u(t) dt converge para s > a.
En este caso, la transformada de Laplace de la funci´n u es la funci´n u definida en
o
o ˆ
el intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada s est´dado por
a
∞

u(s) =
ˆ

e−st u(t) dt.

(1)

0

A veces conviene denotar la transformada de Laplace u de u mediante L {u}.
ˆ
∞ −st
Recu´rdese que la integral impropia 0 e u(t) dt converge si la integral finita
e
B −st
B
e u(t) dt existe para todo B > 0 y si l´ B→∞ 0 e−st u(t) dt existe y es finito.
ım
0
Entonces, por definici´n,
o
∞

B

e−st u(t) dt = l´
ım

B→∞

0e−st u(t) dt

0

Ejemplos.
(Funci´n constante). La funci´n constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace
o
o
u(s) = 1 definida en 0 < s < ∞. En efecto,
ˆ
s
∞

u(s) =
ˆ

B

e−st dt = l´
ım

B→∞

0

e−st dt = l´ (−
ım
B→∞

0

e−sB 1
1
+ )= ,
s
s
s

∞

para 0 < s < ∞. Se observa que la integral 0 e−st dt diverge para s ≤ 0.
(Funci´n exponencial). La funci´nu(t) = eat tiene transformada de Laplace
o
o
1
u(s) = s−a definida en a < s < ∞ . En este caso,
ˆ
∞

u(s) =
ˆ

e
0

∞

−st at

e dt =

e(a−s)t dt =

0

1
s−a

para s > a.

(Funci´n tn , n > 0 entero). La funci´n u(t) = tn (n > 0 entero) tiene transformada
o
o
n!
de Laplace u(s) = sn+1 definida en 0 < s < ∞.
ˆ
Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos
∞L {t} =
0

t
t e−st dt = l´ (− e−st
ım
B→∞
s
1

t=B
t=0

)+

1
s

∞
0

e−st dt =

1
s2

para 0 < s < ∞.
Para n > 1, la integraci´n por partes da
o
∞

L {tn } =

tn e−st dt = l´ (−
ım
B→∞

0

tn −st
e
s

t=B
t=0

).

n ∞ n−1 −st
n
t e dt = L tn−1 .
s 0
s
Y aplicando esto repetidamente, obtenemos
+

L {tn } =
= ··· =

n
n(n − 1)
L tn−1=
L tn−2
s
s2

n(n − 1)(n − 2) . . . 1
n!
L {1} = n+1
sn
s

para 0 < s < ∞.
(Funciones seno y coseno). Se tiene
L {cos at} =

s2

s
,
+ a2

L {sen at} =

s2

a
+ a2

para 0 < s < ∞, donde a = 0.
Integrando por partes obtenemos
∞

1
e−s t cos a t dt = e−s t sen a t t=∞
t=0
a
0
s
s ∞ −s t
e sen a t dt = L {sen a t} .
+
a 0
a

L {cos a t} =

(2)

Yvolviendo a integrar por partes,
∞

1
e−s t sen a t dt = − e−st cos at t=∞
t=0
a
0
s ∞ −s t
1 s
−
e cos a t dt = − L {cos a t} .
a 0
a a

L {sen a t} =

Luego

1 s2
− L {sen a t}
a a2
De aqu´ se obtiene la expresi´n para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresi´n para
ı
o
o
L {cos a t}.
(Funci´n de Heaviside). La funci´n escal´n de Heaviside o salto unitario es la
o
o
ofunci´n H definida para todo t, −∞ < t < ∞, por
o
L {sen a t} =

H(t) =

0, t < 0
1, t ≥ 0
2

1

t

a

Figura 1: Funci´n de Heaviside de salto unitario
o

La funci´n salto unitario en a es la translaci´n H(t − a) de H (v´ase figura 1):
o
o
e
0, t < a
1, t ≥ a

H(t − a) =
Para a > 0 y 0 < s < ∞, se tiene

∞

L{H(t − a)} =

e−st dt =

a

En general

∞

L{H(t− a) u(t − a)} =

e−as
.
s

e−st u(t − a) dt

a
∞

=

e−s(x+a) u(x) dx = e−as L {u} .

0

Es decir,
L{H(t − a) u(t − a)} = e−as L {u} , para a > 0, 0 < s < ∞.
2

(Una funci´n sin transformada de Laplace). La funci´n u(t) = et no tiene transo
o
formada de Laplace. Pues la integral
∞

∞

2

e−st et dt =

0

s2

s 2

e− 4 e(t− 2 ) dt

0

diverge para todo s.¿Para cu´les funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos
a
anteriores sugieren el siguiente criterio:
o
o
Teorema 1 (Criterio de Existencia). Sup´ngase que u(t) es una funci´n definida en
0 ≤ t < ∞ que satisface las siguientes condiciones:
3

L1 Cada intervalo finito [0, B] se puede dividir en un n´mero finito de intervalos
u
[b0 , b1 ] = [0, b1 ], [b1 , b2 ] , ....