la place

Líneas de Transmisión
Carta de Smith

A. Zozaya
30 de noviembre de 2007
Resumen
En este documento se describe brevemente como se construye la Carta de Smith.
Sobre los orígenes de esta carta se recomienda leer la Referencia [1].

1.

Introducción

E

l coeficiente de reflexión ΓL en los terminales de carga de una línea de transmisión es
un número complejo cuyo módulo no supera launidad para terminaciones pasivas. En
efecto, llamando rN + xN la impedancia de carga normalizada: rN + xN = ZL /ZC ,
donde rN = {ZL }/ZC y xN = {ZL /ZC} , se comprueba que
|ΓL | =

rN + xN − 1
≤1
rN + xN + 1

(1)

de esta suerte, el sector circular del plano complejo definido por la variable compleja ΓL =
u + v, tal que |ΓL| ≤ 1, debe contener todo los valores complejos de ΓLcorrespondientes a
todos los valores posibles de impedancia normalizada rN + xN .

2.

Construcción del Diagrama de Smith

Las impedancia normalizada rN + xN barre todo el plano complejo. Allí, los lugares
geométricos equi-rN y equi-xN son simplemente rectas paralelas a los ejes real e imaginario,
1

respectivamente.
Ese mismo plano complejo es barrido por el coeficiente de reflexión ΓL =u + v . Sin embargo, como entre ambas
variables complejas existe la relación
ΓL = u + v =

rN + xN − 1
rN + xN + 1

(2)

si los valores de impedancia normalizada (rN , xN ) se expresan en función de
ΓL : rN = rN (u, v) y xN = xN (u, v),
los lugares geométricos rectilíneos equirN y equi-xN , en el dominio (rN , +xN ),
se transforman en circunferencias en el
plano complejo de lavarible (u + v)1.
Una ilustración gráfica de esta trasnformación se muestra en la Fig. 1.
La Carta o Diagrama de Smith se Figura 1: Transformación de Mobius (tomada de
obtiene, precisamente, trazando algunos http://na.tm.agilent.com).
de los lugares geometricos de rN y xN
en el plano complejo de la variable u + v, utilizando como base la Ec. 2. Para ello se sugiere
seguir los pasos siguientes[1]. Multiplicar en cruz:
(u + v)(rN + 1 + xN ) = rN + xN − 1
igualar parte real y parte imaginaria
u(rN + 1) − vxN = rN − 1
v(rN + 1) + uxN = xN
ordenar y factorizar los términos rN y xN
(u − 1)rN − vxN = −(1 − u)
vrN + (u − 1)xN = −v
con este par de ecuaciones se procede a eliminar una vez xN y otra vez rN , ordenando los
términos restantes en potencias descendientes de u y v,respectivamente
1 − rN
2rN
u + v2 =
rN + 1
rN + 1
2
v = −1
u2 − 2u + v 2 −
xN
u2 −

1

Ésta se conoce como transformación lineal de Mobius [2]

2

finalmente se procede a completar los cuadrados2 correspondientes en cada ecuación
u−

rN
rN + 1

(u − 1)2 + v −

2.1.

2

+ v2 =
1
xN

1
(rN + 1)2

2

=

1
xN

(3)

2

(4)

Lugar geométrico de la resistencianormalizada rN = rN (u, v)

La Ecuación (3) representa la familia de los lugares geométricos de todos los valores
posibles de rN en el subespacio complejo barrido por las variables u y v. En particular, se
r
observa que la Ec. (3) representa una familia de circunferencias centradas en rNN , 0 y de
+1
radio rN1+1 .
En el Cuadro 1(a) se muestran los valores de las coordenadas del centro ydel radio de
algunos miembros de esta familia de círculos.
Cuadro 1: Algunos valores de coordenadas del centro y del radio de algunos miembros de las
familias de círculos equi-rN y equi-xN .
(a) rN

rN
uC
vC
0
0
0
1/7 1/8
0
1/3 1/4
0
1
1/2
0
3
3/4
0
7
7/8
0
15 15/16 0
u−

2.2.

rN
rN +1

2

+ v2 =

(b) xN

radio
1
7/8
3/4
1/2
1/4
1/8
1/16

xN
0
1/5−1/5
±1/2
±1
±2
±5

uC
1
1
1
1
1
1
1

(u − 1)2 + v −

1
(rN +1)2

radio
∞
5
5
2
1
1/2
1/5

vC
∞
5
−5
±2
±1
±1/2
±1/5
1
xN

2

=

1
xN

2

Trazado del lugar geométrico equi-rN

Para trazar el locus de algún valor de rN es conveniente «retocar» la Ec. (3) seleccionando,
a conveniencia, una de las variables u y v como independiente y la restante...