La vida

6.1 Introducción.
En las aplicaciones que desarrollaremos en este capítulo, utilizaremos una variante de la definición de integral la cual es equivalente a la que se dio en el Capítulo 3.
Dada unasubdivisión del intervalo en n partes iguales, cada una de longitud Δxk , nos podemos aproximar a la integral de la función en el intervalo dado mediante sumas
superiores o sumas inferiores
nn
Sn=∑MkΔxk In =∑mkΔxk
k=1 k=1
donde Mk y mk son el mínimo y el máximo valor de la función en el k-ésimo subintervalo
determinado por la partición.
Si consideramos la suma
x1 x2 x3 ... xn
∑n k=1
Rn =f(xk)Δxk
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lim∑→∫ xk →x y Δxk →dx 6.2 Cálculo de Áreas
En los siguientes ejemplos encontraremos el área de una región dada. Dicha región será considerada como el área comprendida entre doscurvas, cuyas intersecciones definen el intervalo que subdividiremos en n partes iguales, a partir de lo cual encontraremos aproximaciones cuyo límite será el área buscada. A este límite loidentificaremos como una integral.
Posteriormente resumiremos este proceso de integración con la introducción de diferenciales de áreas y no trataremos explícitamente con las subdivisiones del intervalo deintegración.
Ejemplo 1. Encuentre el área de la región delimitada por la parábola y = 6 - x2 y la recta y=x
Solución:
6−x2 k
xk Δxk
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Primeramente encontraremos los puntos de intersección,igualando la parábola y = 6 - x2 y la recta y = x, para determinar el intervalo de integración.
6 - x2 = x
6-x2 =x ⇔ x2 +x-6=0 ⇔ (x+3)(x-2)=0
cuyas soluciones son x = -3 y x = 2.
SeaP={a0,a1,...an}unasubdivisióndelintervalo[-3,2]y xk∈[ak−1,ak]parak=
1,2,...n
El área del rectángulo genérico de base Δxk (el área del k-ésimo rectángulo determinado por
la partición) es:
(6−x2 −x )Δx xkk
Nóteseque, para encontrar la altura del rectángulo debemos saber cuál es la curva que queda por arriba y cuál la que queda por abajo.
Un valor aproximado al área buscada es la suma de los rectángulos...