la vida

CAPÍTULO TRES

ANÁLISIS DE FOURIER
TIEMPO CONTINUO

Introducción

La representación de la señal de entrada a un sistema (entendiendo como sistema un conjunto de
elementos o bloques funcionales conectados para alcanzar un objetivo deseado) de tiempo continuo
lineal e invariable en el tiempo (LIT), como una integral ponderada de impulsos desplazados conduce a
la integral de convolución.Esta representación de sistemas LIT de tiempo continuo indica cómo la
respuesta de tales sistemas, para una entrada arbitraria se construye a partir de las respuestas a los
impulsos unitarios desplazados. Entonces, la integral de convolución no sólo proporciona una manera
conveniente de calcular la respuesta de un sistema LIT, suponiendo conocida su respuesta al impulso
unitario, sino quetambién indica que las características de un sistema LIT son especificadas
completamente por su respuesta al impulso unitario. A partir de este hecho se pueden analizar en
detalle muchas de las propiedades de los sistemas LIT y relacionar estas propiedades con las
características equivalentes de las respuestas al impulso de tales sistemas.
En este trabajo se desarrollará una representación alternapara las señales y los sistemas LIT. El punto
de partida de esta discusión es el desarrollo de una representación de señales como sumas ponderadas
de un conjunto de señales básicas, las señales exponenciales complejas. Las representaciones
resultantes son conocidas como la serie y la transformada de Fourier y, como se verá, estas
representaciones se pueden emplear para construir diferentesclases de señales. La idea central de la
representación es la siguiente: Dada una secuencia de funciones u1(t), u2(t), u3(t), … que tienen, en un
intervalo (a, b), la propiedad de ortogonalidad:
b

u

m


( t ) un ( t ) dt  0

a

siempre que n  m (el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función
“arbitraria” f (t) en una serie infinita de la forma
f ( t ) C1u1 ( t )  C2 ( t ) u2 ( t )  C3 ( t ) u3 ( t ) 

A primera vista, esto parece bastante sencillo. Para determinar Cn para cualquier valor fijo de n,

multiplicamos ambos lados de esta ecuación por un ( t ) e integramos en el intervalo (a, b):

162

b

b

b

 f ( t ) u ( t ) dt  C  u ( t ) u ( t ) dt  C  u ( t ) u ( t ) dt 

n

1

a

1


n

2

a


n2

a

Debido a la propiedad de ortogonalidad, todos los términos en el lado derecho se anulan excepto el nésimo y se obtiene
b



b


f ( t ) un ( t ) dx  Cn

a

 u (t )
n

2

dt

a

y esta relación se puede resolver para obtener Cn.
Las señales con las cuales se trabaja normalmente son magnitudes variables en el tiempo; por
ejemplo, en las comunicacioneseléctricas, ellas son el voltaje y la corriente. La descripción de una
señal x(t) usualmente existe en el dominio del tiempo, donde la variable independiente es el tiempo t.
Para muchas aplicaciones, con frecuencia es más conveniente describir las señales en el dominio de la
frecuencia f, donde la variable independiente es la frecuencia f. Así, si la señal existe físicamente en el
dominio del tiempo,entonces se puede decir que ella consiste de diferentes componentes en el dominio
de la frecuencia y esas componentes en conjunto se denominan el espectro.
El análisis espectral basado en la serie y la transformada de Fourier es una herramienta poderosa en
muchas ramas de la ingeniería. Como consecuencia, la atención en este trabajo se centrará en la teoría
de Fourier antes que en otrastécnicas como, por ejemplo, la transformación de Laplace y el análisis en
el dominio del tiempo. Primero, el dominio de la frecuencia es esencialmente un punto de vista de
régimen permanente y, para muchos propósitos, es razonable restringir nuestra atención al
comportamiento en régimen permanente de los sistemas bajo estudio. En realidad, teniendo en cuenta
la multitud de señales posibles que...