la vida

RANG D'UNA MATRIU PER DETERMINANTS.
Recordem que el rang d'una matriu és el màxim nombre de files (o columnes) independents que té la
matriu, i es pot calcular pel mètode de Gauss. Veurem un altre mètode utilitzant determinants.
RANG D'UNA MATRIU QUADRADA
Teorema: Si A és una matriu quadrada d'ordre n, llavors ran A = n  A 0
D: () Si ran A =n, aplicant a la matriu A d’ordre n lestransformacions de Gauss s’obté una altra
matriu A triangular i escalonada amb tota la diagonal principal distinta de 0.


 
 a11
a12
 a12




a 22  a 2n 
  0
A 


 
 
 0
0  a nn 


complint-se rang A = ran A* = n ; a*ii  0, per a tot “i”

*
 Quin val A * ? Òbviament A *  a 11
· a *22·........a *nn  0

(producte de la diagonal)

 Quinarelació tenen A * i A ? Les transformacions aplicades a la matriu A per obtenir A*,
ens permeten afirmar que A * serà exactament igual a A , canviarà de signe o quedarà
multiplicat per una constant k 0 (simple aplicació de les propietats del determinants).
En qualsevol cas, com A *  0, també A 0
() Si A 0 es demostrarà que ran A = n.
En efecte, si ran A  n  ran A < n  les n files noserien independents  almenys una d’elles seria
combinació lineal d’altres aplicant propietats dels determinants A= 0 , absurd ja que A 0
Definitivament, per tant, es compleix que ran A = n .

APLICACIÓ: el rang d’una matriu quadrada es pot calcular còmodament per determinants
1 2 3


EXEMPLE: Calcula el rang de la matriu A=  4 5 6 
 3 1 2



Solució: Tenim que A  9 0 . Per tant, ran A = 3
RANG D'UNA MATRIU QUALSEVOL PER DETERMINANTS.
SUBMATRIUS I MENORS D'UNA MATRIU. Si A és una matriu d'ordre m x n, es defineix
- Submatriu de A a tota matriu que s'obtinga de la mateixa suprimint certes files i certes columnes.
- Menor d'ordre r de A al determinant d'una submatriu quadrada de A i d'ordre r

 Exemple:
 1 2 3 1


En A   2 4 3 2  , tenimque B =
 1 6 8 3



 1 3


 2 3 i
 1 8


1
1 2
respectivament, mentre que M 
i N= 2
2 4
1

 2 3 1
C= 
 són submatrius 3 x 2 i 2 x3
6 8 4 

2 1
4 2 són menors d’ordre 2 i 3.
6 3

RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS - EXEMPLES
Francesc Beltran Castell

RELACIÓ ENTRE FILES INDEPENDENTS D’UNA MATRIU I MENORS DISTINTS DE ZERO
 1 1
 0 1
Esraonarà amb la matriu A  
2 1

0 0



2 0
1 1
1 3
3 2

3
2 
. Pot generalitzar-se a una matriu qualsevol
0

1

En la matriu A, a partir de F1 i F2 considerem p.e. el menor d’ordre 2,

1 1
 1  0 
0 1

 1 1 
ran B = 2, sent B = 
  les 2 files de B són linealment independents, però com són
 0 1 
part F1 i F2 de la matriu A  les 2 files F1 i F2 deA seran també linealment independents.
1 1 2
Igualment, si considerem el menor de A, 0 1 1  3  0 (s’han utilitzat F1-F2-F4 ;C1-C2-C3)
0 0 3
 1 1 2 


 ran C = 3, sent C =  0 1 1   raonant com abans, les 3 files de C són linealment
 0 0 3


independents, però com són part de F1-F2-F4 de la matriu A  les 3 files F1-F2-F4 de A seran
també linealment independents.
Osiga, si en una matriu A es troba un menor d’ordre “r” distint de zero  les corresponents
“r” files de A són linealment independents.



Recíprocament,en la matriu A observem p.e. que F1 i F2 són independents (no proporcionals) 
 1 1 2 0 3 
la submatriu M= 
 , compleix ran M= 2  Hi hauran 2 columnes independents
 0 1 1 1 2 
 seleccionant p.e. C1-C2, obtenim

1 1
 1  0(menor de A d’ordre 2 distint de zero)
0 1

Igualment, en A p.e. les files F1, F2, F4 són escalonades  aquestes 3 files seran linealment
 1 1 2 0 3 


independents  la submatriu N =  0 1 1 1 2  compleix ran N =3  seleccionant p.e.
 0 0 3 2 1 


1 1 2
C1-C2-C3 , obtenim, 0 1 1  3  0
0 0 3

(menor d’ordre 3 de A distint de zero)

O siga, si en una matriu A...