Labanda De Möbius Y El Problema De Los Cuatro Colores

La topología es una reciente rama de las matemáticas modernas que se ocupa de las propiedades que permanecen invariantes cuando una estructura es sometida a “deformación continua”. Suelen explicarse estas “deformaciones” pidiendo que se imagine una estructura de goma a la que se puede moldear y dar cualquier forma con tal de no perforarla, ni cortar de ella piezas, o cortarlas y volverlas a pegaren otro lugar. Esto es un error, el tipo de deformaciones topológicas debe ser mucho más general y técnica, que precisa previa mente el concepto de aplicación continua en cada punto.


Para entender bien este concepto son interesantes algunas experiencias, como colorear un mapa, deshacer un nudo de una cuerda, formar bandas de papel con anillos entrelazados…LAS BANDAS DE MÖBIUS.






Casi todas las superficies que conocemos tienen dos caras, son bilaterales, por ejemplo, una hoja de papel tiene dos caras, si se coloca una hormiga por una de ellas no podría llegar a ningún punto de la otra más que atravesando el papel o pasando por el borde; la esfera es una superficie bilateral sin borde, se llaman estas superficies superficiesbilaterales cerradas. Una hormiga puede recorrer todo su exterior, pero sólo podría pasar al interior atravesando su superficie.


Pero hay superficies unilaterales, esto significa que son de una sola cara. En este tipo de superficie la hormiga va a cualquier punto sin tener que esforzarse en hacer ningún agujero. Un ejemplo de este tipo de superficie es la Banda de Möbius. Nadie había caído en lacuenta de la existencia de este tipo de superficies da una sola cara hasta que August Ferdinand Möbius, matemático y astrónomo alemán fallecido en 1868 describió las propiedades de algo tan sencillo como un anillo de papel construido pegando los extremos de una tira retorciendo media vuelta.


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Desde entonces, la Banda de Möbius, se ha convertido en el juguete más famosode la Topología.


Las Bandas de Möbius son un ejemplo de contradicción en la deformación de la goma; tomemos dos Bandas de Möbius simétricas respecto de un plano, como si fuera una la imagen de la otra en un espejo. Es imposible deformar ninguna de ellas hasta convertirla en la otra por mucho que se estire y retuerza; sin embargo son topológicamente idénticas. Lo mismo vale para unaBanda de Möbius y una banda con


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tres o cualquier otro número impar de torsiones de media vuelta. Todas las bandas con un número impar de estas “semitorsiones” y sus imágenes especulares son, desde el punto de vista de la topología, iguales, a pesar de que ninguna de ellas puede transformarse en la otra mediante la deformación de una banda de goma. Otro tanto vale para todaslas bandas (y sus imágenes especulares) con un número par de medias torsiones. Estas bandas, sin embargo, son topológicamente distintas de las que tienen un número impar de rizos, al tiempo que son homeomórficas entre sí.


Una propiedad muy curiosa e intrigante de las bandas de Möbius es que al cortarla longitudinalmente por la mitad, no resultan dos bandas, sino una sola mucho mayor.Así lo cuenta la siguiente estrofa:

Un matemático contaba
que la Banda de Möbius
nada más tiene una cara


Te reirás un buen rato

al cortarla a la mitad:

aunque dos piezas esperas

¡sigue la banda muy entera

Esta banda que obtenemos tiene longitud doble que la original y además es topológicamente distinta, tiene dos bordes y doscaras. Si n es el número impar de semirizos que tiene la banda, al cortarla la que nos queda tiene 2n+2 semirrizos que es un número par, por tanto es del mismo tipo que la que tiene dos semirrizos, o ninguno.


Cuando n=1 al cortarla obtenemos una con cuatro semirrizos. Cuando n=3 la que obtenemos tiene ocho semirrizos y está además anudada con medio nudo simple.


Las bandas con...