Leslie

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
E l p r o d u c t o e s c a l a r d e d o s v e c t o r e s e s u n nú m e r o r e a l q u e r e s u l t a a l m u l t i p l i c a r el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman si los vectores s o n n o nu l o s y c e r o s i u n o d e l o s d o s ve c t o r e s e s n u l o .

si 0
 Como

o o

so n n o nulo s es el vector nulo

;si

s o n n ú m er o s r e a l e s e l pr o d u c to e s c a l a r d e d os v e c t o r e s

e s u n n ú m er o r e a l qu e p u e d e s e r p o s i tiv o , n e g a t i v o o n u l o .  E l p r o d u c t o e s c a l a r e s n u l o e n e l c a s o d e q u e l o s v e c t o r e s s e a n p e r p e n d i c ul a r e s u o r t o g o n a l e s y a q ue e n t o n c e s

Interpretación geométricadel producto escalar
El valor absoluto del producto escalar de dos vectores no nulos es igual al m ó d u l o d e u n o d e e ll o s p o r l a pr o y e c c i ó n d e l o tr o s ob r e é l . En la figura se representan dos , se

vectores

. A l pr o y ec t a r e l v e c t o r cuyo módulo

s o b r e l a dir e c c i ó n d e l v e c t or obtiene el vector OA´. Se cumple: Teniendo en cuenta: O A ´= pr o y d e sobre =

c o i n c i d e c o n l a m ed i d a d e l s e g m e n t o

Entonces

Nenina Martín Ossorio Matemáticas II 1

Ejemplo H a l l a r l a pr o y e c c i ó n d e l v e c t or = ( 2 , 1) s ob r e e l v e c t o r = (−3, 4).

Propiedades del producto escalar
1Conmutativa

2 Homogénea

3 Distributiva del producto escalar respecto de la suma en V 3

4 E l p r o d u ct o e s c a l a r d e u n v e c t o r no n u l o p o r s í m is m o s i e m p r e e s p o s i ti v o .

Algunas bases especiales

B as e n o r m a d a u3 u2 u1 V e c t o r e s u n i t ar i o s u1

B as e o r t o g o n a l u3 u2

Base ortonormal

u3 u1

u2

Vectores ortogonales

Vectores unitarios y ortogonales

Nenina Martín Ossorio Matemáticas II 2

Expresión analítica delproducto escalar
Sea u n a b as e c ua l q u i er a d e l e s p a ci o

V3

y

d o s v e c t o r es

c u a l e s q u i er a . C o m o c a d a v e c t o r s e de s c o m p o n e d e m o d o ú n i c o e n f u n c i ó n d e l o s v e c t o r e s d e l a b as e , s e t i e n e : y A p l i c a n d o l a s pr o p ie d a d e s d e l pr o du c t o e s c a l a r , r e s u l t a:

E s t a e x p re si ó n s e si m p l i f i c a e n e l c as o d e qu e l a b as e s e a d e c i er t o s t i p os :  S i l a b a s e B e s n o rm a d a (v e c t o r e s u n it a r i o s) ya que cos 0 = 1 ya que cos 90 = 0



S i l a b a s e B e s o r t o g o n a l ( v e c t o r e s pe r p e n d i c u l ar e s) ; cos 0 = 1



S i l a b a s e B e s o r t o n o r m a l ( v e c t o r e s u n i t a r i o sy p er p e n di c u l a r es )

Nenina Martín Ossorio Matemáticas II 3

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o re s e s o t r o v e c t o r o 1º Si de: y y qu e s e o b t i e n e d e l s i gu i e n t e m o d o : son dos vectores no nulos y no proporcionales es un vector q u e s e d e si g n a p o r

   2º Si

M ó d u l o e s i g ua l a: D i r e c c i ó n e s p e r p en d i c u l a r a l o s d o s ve c t o r e s S e n t i d o ig u a l a l a v an c e d e u n s a c a c o r ch o s a l g ir ar d e ó ó y s o n p r o p o r ci o n a l e s s e ti e n e q u e a .

x

Interpretación geométrica del producto vectorial
G e o m é t r i c a m e n t e , e l m ó d u l o d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e sc o i n c id e c o n e l á r e a d e l p a ra l e l o g r a m o q u e t i e ne p o r l a d o s a e s os v e c t o r e s .


El área del paralelogramo es el

producto de la base por la altura

Nenina Martín Ossorio Matemáticas II 4

Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa

2. Homogénea

3 . D i s t r ib u t iv a d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l r e s p e c t...