lgebra matricial y programaci n lineal

´
TEMA 1. Algebra
matricial y programaci´
on lineal

Muchos problemas en las matem´aticas y sus aplicaciones conducen a sistemas de
ecuaciones lineales, del tipo:
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
···························
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,
donde aij , bi son n´
umeros reales. Una forma satisfactoria de discutir estos sistemas (yde resolverlos) es introduciendo las matrices y reescribi´endolos en la llamada forma
matricial. En este tema estudiaremos las matrices y sus propiedades, as´ı como la
discusi´on y resoluci´on de sistemas.
1.1. Matrices
Una matriz real de tama˜
no m × n es un conjunto de mn elementos distribuidos
en m filas y n columnas. Cada fila tiene n elementos, mientras que cada columna
tiene m:
â
a11 a12 · ·· a1n
a21 a22 · · · a2n
A=
.
..
..
..
..
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn

Normalmente, las matrices siempre se denotan con letras may´
usculas, y se suelen
abreviar as´ı:
A = {aij } i=1,··· ,m .
j=1,··· ,n

Observemos que en el elemento aij el sub´ındice i hace alusi´on a la fila y el j a la
columna. El conjunto de las matrices m × n con elementos reales se suele denotar
por Mm×n (R).

1

2
Por suespecial relevancia en las aplicaciones, destaquemos algunos tipos particulares de matrices:
Matriz fila (vector fila):

a1 a2 · · · an
â

a1
a2
..
.

Matriz columna (vector columna):

1×n

m×1

am

Matriz cuadrada:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
..
..
..
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann

â

n×n

Ejemplo 1. Veamos algunos ejemplos de matrices, en particular de los tipos especiales anteriores:
Matriz2 × 3 :
Matriz 2 × 2 (cuadrada) :
Matriz 3 × 3 (cuadrada) :
Matriz 1 × 3 (fila) :
Matriz 3 × 1 (columna) :

A=
A=

A=

1
3 4
0 −1 1
1 −1
0
0
1 √0 −1
3
2
7
1
0
0

A=

1 0 3

A=

−1
4
5/3

Ǒ

Ǒ

.

Las matrices cuadradas suelen ser las m´as usadas en la pr´actica. Veamos a continuaci´on algunos tipos especiales de ´estas. Para ello, consideramos en primer lugar
las llamadas diagonales principal ysecundaria de una matriz:

3
Matriz identidad. Es una matriz cuadrada de orden n que tiene unos en la
diagonal principal y ceros en todos los dem´as lugares. La denotaremos por In :
1
0
..
.

0 ··· 0
1 ··· 0
..
.
. . . . ..
0 0 ··· 1

In =

â

.

Por ejemplo:
I2 =

1 0
0 1

,

1 0 0
0 1 0
0 0 1

I3 =

Ǒ

.

Matriz diagonal. Los elementos que est´an fuera de la diagonal principal son
nulos:
á
a11 0· · · 0
0 a22 · · · 0
D=
.
··· ··· ··· ···
0
0 · · · ann
Por ejemplo:

1 0
0
0 3
0
0 0 −5

Ǒ

.

Matriz triangular. Es la que tiene todos los elementos por debajo o por encima
de la diagonal principal nulos. En el primer caso se llama triangular superior
y en el segundo triangular inferior.
Por ejemplo:
1
3
7
0 −1 −4
0
0
2

Ǒ

y

−3 0 0
3 1 √0
0 1
5

Ǒ

son triangulares superior e inferior,respectivamente.
1.2. Operaciones con matrices
Veamos las propiedades b´asicas con matrices reales.
Suma y resta. Dadas dos matrices A = {aij } i=1,··· ,m y B = {bij } i=1,··· ,m del mismo
j=1,··· ,n
j=1,··· ,n
tama˜
no m × n, su suma es una matriz C = {cij } i=1,··· ,m , que se obtiene sumando
j=1,··· ,n
los t´erminos que ocupan el mismo lugar. Es decir, cij = aij + bij . An´alogamente se

4
define laresta de matrices.
a11
a21
..
.

A±B =

a12
a22
..
.

···
···
..
.

â

a1n
a2n
..
.

b11
b21
..
.

±

am1 am2 · · · amn
a11 ± b11
a21 ± b21
..
.

=

b12
b22
..
.

···
···
..
.

â

b1n
b2n
..
.

bm1 bm2 · · · bmn

a12 ± b12
a22 ± b22
..
.

···
···
..
.

â

a1n ± b1n
a2n ± b2n
..
.

= C.

am1 ± bm1 am2 ± bm2 · · · amn ± bmn
Producto por un escalar. El producto de un escalar (i. e. un n´
umero) λ ∈R
por una matriz A = {aij } i=1,··· ,m da lugar a una nueva matriz λA, que se obtiene
j=1,··· ,n
multiplicando todos los elementos de la matriz A por λ, es decir, λA = {λaij } i=1,··· ,m :
j=1,··· ,n

λA = λ

a11
a21
..
.

a12
a22
..
.

···
···
..
.

â

a1n
a2n
..
.

λa11
λa21
..
.

=

am1 am2 · · · amn

λa12
λa22
..
.

···
···
..
.

λa1n
λa2n
..
.

â

.

λam1 λam2 · · · λamn

Ejemplo 2. (a)...