licenciada en ciencias quimicas

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
DEPARTAMENTO

DE

MATEMÁTICAS

SEPTIEMBRE 2011
Resumen
En este tema se desarrollan las técnicas de eliminación de Gauss y Gauss - Jordan para discutir y resolver sistemas
de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Se proporciona un método sistemático para obtener una matriz escalonada
y la matriz escalonada reducida asociada auna matriz, y se incide en la distinción entre incógnitas principales e
incógnitas libres.

1.

DEFINICIONES,

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

DEFINICIÓN 1.1. Una ecuación lineal en las n variables x 1 , x 2 , ..., x n es una ecuación que tiene la forma:
a1 x 1 + a2 x 2 + ... + an x n = b
donde a1 , a2 , ..., an y b son números dados, llamados coeficientes. El coeficiente b, que no multiplica aninguna
incógnita, se llama término independiente. Las variables en una ecuación lineal a menudo se llaman incógnitas.

EJEMPLO 1.1. La ecuación:
9x −

2
3

y+

π

5z =

2

es una ecuación lineal en las incógnitas x, y, z. Los coeficientes de las incógnitas x, y, z son los números 9, − 2 ,
3
respectivamente. El término independiente es el número π .
2

5,

EJEMPLO 1.2. Segúnla definición 1.1, en las ecuaciones lineales las incógnitas sólo pueden aparecer multiplicadas
por números, formando términos que se suman o se restan. Cualquier ecuación en la que aparezcan las incógnitas
multiplicadas entre sí, o involucradas en potencias, raíces o cualesquiera otras operaciones matemáticas más complejas,
no es una ecuación lineal. Así, no son ecuaciones lineales:
3x y − 2y + z 2
2
x

=

2

− 5 y + 6z − t

=

1

x2 + 2 y

=

7

cos x − 5 y + 9z

=

4

EJERCICIO 1.1. De las siguientes ecuaciones, ¿cuáles son lineales en x, y, z?
1. x + 5 y −

2z = 1

5.

x − 2y + z = 4

2. x + 3 y + x y = 2

6. πx −

3. x −2 = −7 y + 3z

8.

1
3

7. 3x + 2 y = 7 − z

4. x + y + 8z = 5

9.

2y + 1z = 7
3

sen π x − 4 y = e2
2
11
x

+

1
y

+z =4

10. e x − 2 y + 5z = 4
11. 2x − 5 y + |z| = 2
12. x − ln 2 y + z =

1
3

I.E.S. «Sol de Portocarrero»

Departamento de Matemáticas

EJERCICIO 1.2. Si k es una constante, ¿cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales?
1. x 1 − x 2 + x 3 = sen k

2. k x 1 − 1 x 2 = 9
k

3. 2k x 1 + 7x 2 − x 3 = 0

DEFINICIÓN 1.2. Si s1 , s2 , ... sn sonnúmeros tales que la ecuación
a1 x 1 + a2 x 2 + ... + an x n = b
se satisface cuando sustituimos x 1 por s1 , x 2 por s2 , ... , x n por sn , se dice que

x 1 = s1
 x =s
 2
2
.
.


.
x n = sn
es una solución particular de dicha ecuación. El conjunto de todas las soluciones particulares de la ecuación es su
solución general.

EJEMPLO 1.3. La ecuación lineal

2
2x − 3 y + z − 5t =−22
3

en las incógnitas x, y, z, t admite a
x =1
 y =2
 z=3
t =4


como solución particular, pues
2·1−3·2+

2

· 3 − 5 · 4 = −22
3
EJEMPLO 1.4. Cualquier ecuación lineal con más de dos incógnitas admite infinitas soluciones particulares. Para
construir una solución particular, basta asignar valores numéricos arbitrarios a todas las incógnitas menos a una, cuyo
valor setermina despejando. Así, la ecuación del ejemplo 1.3 admite una solución particular en la que x = 3, y = 0,
t = 5. Para encontrar el valor de z en dicha solución, basta con sustituir y despejar:
2
9
2 · 3 − 3 · 0 + z − 5 · 5 = −22 → z = −
3
2
de modo que:
x =3
 y =0
 z = −9
2
t =5


es la solución buscada.
EJEMPLO 1.5. La solución general de la ecuación del ejemplo 1.3 se escribeasignando parámetros a todas las
incógnitas menos a una, que se termina despejando. Si por ejemplo se asignan los parámetros x = α, y = β, z = γ, se
tendría
2
2
3
2
22
2α − 3β + γ − 5t = −22 → t = α − β +
γ+
3
5
5
15
5
de modo que la solución general se expresaría finalmente así:

x =α
 y =β
 z=γ
2
t = 2 α − 3 β + 15 γ + 22
5
5
5

2

I.E.S. «Sol de Portocarrero»...