Limite En Coordenadas Polares
Páginas: 36 (8862 palabras)
Publicado: 13 de abril de 2011
LA GACETA
DE LA
´ RSME, Vol. 7.2 (2004), Pags. 405–434
405
L´ ımites utilizando coordenadas polares
por ´ Juan Bosco Ferreiro Darriba y Oscar L´pez Pouso o
Se demuestran varios resultados en relaci´n con el l´ o ımite cuando (x, y) tiende a (a, b) de una funci´n real de dos variables reales f (x, y). Se presta o especial atenci´n al uso de las coordenadas polares para calculardicho o l´ ımite. Los resultados se acompa˜an con ejemplos. n
´ 1. INTRODUCCION
Este art´ ıculo est´ dedicado al estudio del l´ a ımite de una funci´n real de dos o variables reales f (x, y). Adem´s de la relaci´n con los conceptos de continuidad a o y diferenciabilidad, y en consecuencia con el concepto de plano tangente a una superficie en R3 , hay una conexi´n entre este tema y la derivada deuna funci´n o o compleja de una variable compleja f (z). En el ultimo caso, dado z 0 ∈ C, la ´ derivada (en el sentido complejo) de f en z 0 se define como sigue [3]: f (z0 ) = lim f (z0 + h) − f (z0 ) , h h→0
h∈C
(1)
en caso de que el l´ ımite exista en C. Si h 1 y h2 son, respectivamente, la parte real e imaginaria de h, el l´ ımite en (1) puede calcularse calculando los l´ ımites, cuando(h1 , h2 ) tiende a (0, 0), de las partes real e imaginaria del cociente f (z0 +h)−f (z0 ) , que son dos l´ ımites que entran en el marco de nuestro estudio. h Para tener una idea de lo que estamos hablando, consideremos el siguiente ejemplo estudiado en [5]: f (x, y) = sen(x2 + y 2 ) . x2 + y 2 (2)
Los autores de [5] afirman que, puesto que se sabe por c´lculo elemental que a sen s = 1, s→0 slim (3)
entonces 1 es el candidato a ser el l´ ımite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0), y despu´s demuestran esa conjetura utilizando la definici´n ´psilon–delta de e o e l´mite. Entre otras cosas, los resultados que recogemos en este art´ ı ıculo nos permiten afirmar que, ciertamente, los l´ ımites en (2) y en (3) son equivalentes,
406
L´ IMITES UTILIZANDO
COORDENADAS POLAREScon lo cual la ultima parte del razonamiento es innecesaria. Para otras situa´ ciones que pueden ser tratadas con los resultados del art´ ıculo remitimos al lector a los ejemplos de las secciones 2, 3 y 4. El lector debe estar familiarizado con la definici´n ´psilon–delta de l´ o e ımite, as´ como con los conceptos de punto de acumulaci´n, conjunto abierto en R 2 ı o y conjunto compacto en R. En lasecci´n 2 se explican algunos hechos relacionados con el uso de l´ o ımites sobre subconjuntos y l´ ımites iterados; el primer tema, aunque sobradamente conocido, puede ayudar al lector a entender ciertos puntos clave cuando se estudia el l´ ımite usando coordenadas polares; el segundo tema ha sido incluido por motivos de completitud. La secci´n 3 est´ dedicada a otras formas de o a resolver elproblema, y en ella enunciamos el teorema de compactaci´n de o variables, que puede usarse, por ejemplo, para resolver el l´ ımite (2). En la secci´n 4 explicamos con la ayuda de ejemplos concretos de qu´ manera el o e cambio a coordenadas polares puede ser de gran ayuda en el c´lculo de l´ a ımites. En la secci´n 5 enunciamos y demostramos los resultados matem´ticos. o a La utilidad de estetrabajo reside, a juicio de los autores, en la escritura detallada de los resultados recogidos en el Teorema 1, Teorema 2 y sus corolarios, y Teorema 5. Todos ellos, excepto quiz´ el ultimo, ser´n de una u otra a ´ a forma familiares para muchos lectores, especialmente para aquellos profesores que hayan tenido que explicar en sus cursos esta materia. La condici´n (b) en el o Teorema 2 suele aparecersolamente como una condici´n suficiente, aunque es o f´cil demostrar que tambi´n es necesaria. En ninguna referencia bibliogr´fica a e a hemos visto un resultado an´logo al Teorema 5, quiz´ porque no reduce el a a n´ mero de variables; es sin embargo util en ciertas ocasiones, como se muesu ´ tra en los ejemplos. Por ultimo, aconsejamos al lector que escriba todos los ´ resultados en el caso en que...
DE LA
´ RSME, Vol. 7.2 (2004), Pags. 405–434
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L´ ımites utilizando coordenadas polares
por ´ Juan Bosco Ferreiro Darriba y Oscar L´pez Pouso o
Se demuestran varios resultados en relaci´n con el l´ o ımite cuando (x, y) tiende a (a, b) de una funci´n real de dos variables reales f (x, y). Se presta o especial atenci´n al uso de las coordenadas polares para calculardicho o l´ ımite. Los resultados se acompa˜an con ejemplos. n
´ 1. INTRODUCCION
Este art´ ıculo est´ dedicado al estudio del l´ a ımite de una funci´n real de dos o variables reales f (x, y). Adem´s de la relaci´n con los conceptos de continuidad a o y diferenciabilidad, y en consecuencia con el concepto de plano tangente a una superficie en R3 , hay una conexi´n entre este tema y la derivada deuna funci´n o o compleja de una variable compleja f (z). En el ultimo caso, dado z 0 ∈ C, la ´ derivada (en el sentido complejo) de f en z 0 se define como sigue [3]: f (z0 ) = lim f (z0 + h) − f (z0 ) , h h→0
h∈C
(1)
en caso de que el l´ ımite exista en C. Si h 1 y h2 son, respectivamente, la parte real e imaginaria de h, el l´ ımite en (1) puede calcularse calculando los l´ ımites, cuando(h1 , h2 ) tiende a (0, 0), de las partes real e imaginaria del cociente f (z0 +h)−f (z0 ) , que son dos l´ ımites que entran en el marco de nuestro estudio. h Para tener una idea de lo que estamos hablando, consideremos el siguiente ejemplo estudiado en [5]: f (x, y) = sen(x2 + y 2 ) . x2 + y 2 (2)
Los autores de [5] afirman que, puesto que se sabe por c´lculo elemental que a sen s = 1, s→0 slim (3)
entonces 1 es el candidato a ser el l´ ımite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0), y despu´s demuestran esa conjetura utilizando la definici´n ´psilon–delta de e o e l´mite. Entre otras cosas, los resultados que recogemos en este art´ ı ıculo nos permiten afirmar que, ciertamente, los l´ ımites en (2) y en (3) son equivalentes,
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L´ IMITES UTILIZANDO
COORDENADAS POLAREScon lo cual la ultima parte del razonamiento es innecesaria. Para otras situa´ ciones que pueden ser tratadas con los resultados del art´ ıculo remitimos al lector a los ejemplos de las secciones 2, 3 y 4. El lector debe estar familiarizado con la definici´n ´psilon–delta de l´ o e ımite, as´ como con los conceptos de punto de acumulaci´n, conjunto abierto en R 2 ı o y conjunto compacto en R. En lasecci´n 2 se explican algunos hechos relacionados con el uso de l´ o ımites sobre subconjuntos y l´ ımites iterados; el primer tema, aunque sobradamente conocido, puede ayudar al lector a entender ciertos puntos clave cuando se estudia el l´ ımite usando coordenadas polares; el segundo tema ha sido incluido por motivos de completitud. La secci´n 3 est´ dedicada a otras formas de o a resolver elproblema, y en ella enunciamos el teorema de compactaci´n de o variables, que puede usarse, por ejemplo, para resolver el l´ ımite (2). En la secci´n 4 explicamos con la ayuda de ejemplos concretos de qu´ manera el o e cambio a coordenadas polares puede ser de gran ayuda en el c´lculo de l´ a ımites. En la secci´n 5 enunciamos y demostramos los resultados matem´ticos. o a La utilidad de estetrabajo reside, a juicio de los autores, en la escritura detallada de los resultados recogidos en el Teorema 1, Teorema 2 y sus corolarios, y Teorema 5. Todos ellos, excepto quiz´ el ultimo, ser´n de una u otra a ´ a forma familiares para muchos lectores, especialmente para aquellos profesores que hayan tenido que explicar en sus cursos esta materia. La condici´n (b) en el o Teorema 2 suele aparecersolamente como una condici´n suficiente, aunque es o f´cil demostrar que tambi´n es necesaria. En ninguna referencia bibliogr´fica a e a hemos visto un resultado an´logo al Teorema 5, quiz´ porque no reduce el a a n´ mero de variables; es sin embargo util en ciertas ocasiones, como se muesu ´ tra en los ejemplos. Por ultimo, aconsejamos al lector que escriba todos los ´ resultados en el caso en que...
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