Lista5_GA

Quinta Lista de Exerc´ıcios - Geometria Anal´ıtica
Prof.a Mariana

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE
1. Verifique se as retas r e s s˜ao ortogonais; em caso afirmativo, verifique se s˜ao tamb´em perpendiculares.
a)r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) e s : X = (2, 4, 4) + γ(−1, 1, −1)
b)r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) e s : X = (−1, 1, 0) + γ(1, 0, 1)
c)r :

y−3
z
x−1
=
= e s : X = (1, 3, 0) + γ(0, −7,5)
2
5
7

2. Dˆe equa¸c˜oes param´etricas da reta que passa por P e ´e perpendicular a r nos casos:
a) P = (2, 6, 1) e r : X = (−3, 0, 0) + λ(1, 1, 3)
b) P = (1, 0, 1) e r passa por A = (0, 0, −1) e B = (1, 0, 0)
3. Ache equa¸c˜oes sob forma sim´etrica da reta perpendicular comum `as retas reversas

2+λ
 x =
x+y = 2
y =
λ e s:
r:
z = 0

z = −1 + λ
4. Verifique se r ´e perpendicular a π noscasos:
a)r : X = (3, 1, 4) + λ(1, −1, 1)

π : X = (1, 1, 1) + γ(0, 1, 0) + µ(1, 1, 1)

b)r : X = (3, 1, 4) + λ(−1, 0, 1)

 x = 1 + 3λ
y = 1 − 3λ
e
c)r :

z =
λ

π : X = (1, 1, 1) + γ(0, 2, 0) + µ(1, 1, 1)
π : 6x − 6y + 2z − 1 = 0

5. Ache equa¸c˜oes param´etricas da reta que passa por P e ´e perpendicular ao plano π nos casos:
a)P = (1, −1, 0)
b)P = (1, 3, 7)

π : X = (1, −1, 1) + γ(1, 0, 1) +µ(1, 1, 1)
π : 2x − 2y + 4z = 1

6. Ache uma equa¸c˜
ao geral do plano π que passa por P e ´e perpendicular `a reta r nos seguintes casos:
a)P = (0, 1, −1) e r : X = (0, 0, 0) + λ(1, −1, 1)
b)P = (0, 0, 0) e r passa por A = (1, −1, 1) e B = (−1, 1, −1)
7. Dados os planos π1 : x − y + z + 1 = 0 e π2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano que cont´em π1 ∩ π2 e ´e
ortogonal ao vetor (1,1,-1).
8.Verifique se os planos dados s˜ao perpendiculares nos casos:
a) X = (1, −3, 4) + λ(1, 0, 3) + µ(0, 1, 3) e X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1, −1, 0)
b) X = (1, 1, 1) + λ(−1, 0, −1) + µ(4, 1, 1) e X = (3, 1, 1) + λ(1, −3, −1) + µ(3, 1, 0)
9. Ache uma equa¸c˜ao geral do plano por (2, 1, 0) que ´e perpendicular aos planos x + 2y − 3z + 4 = 0 e 8x − 4y +
16z − 1 = 0.
10. Dados os planos π1 : x − y + z + 1 = 0,π2 : x + y − z − 1 = 0 e π3 : x + y + 2z − 2 = 0. Ache uma equa¸c˜ao do
plano que cont´em π1 ∩ π2 e ´e perpendicular a π3 .
ˆ
DISTANCIAS
1. Calcule a distˆancia entre os pontos P e Q nos casos:
a) P = (0, −1, 0)
Q = (−1, 1, 0)
b) P = (−1, −3, 4)
Q = (1, 2, −8).
2. Calcule a distˆancia entre o ponto P = (1, −1, 4) e a reta r :
(resp. d(r, s) =

270
29 ).

x−2
y
z−1
=
=
4
−3
−2


 x = 3t + 1
y =2t − 2
3. Calcule a distˆancia entre o ponto P = (−2, 0, 1) e a reta r :

z = t
4. Calcule a distˆancia entre o ponto P = (0, −1, 0) e s :

x = 2z − 1
y = z+1

5. Calcule a distˆancia entre as retas paralelas nos casos:
y−3
y+1
a)r : x =
=z−2 e s: x−3=
=z−2
2 √
2
(resp. d(r, s) = 5 630 )
b)

x−1
y
= 1 = z e X = (0, 0, 2) + λ(−2, 12 , 1)
−2
2

6. Calcule a distˆancia entre o ponto o plano noscasos:
a)P = (1, 1, 15
16 ) e π : {4x − 6y + 12z + 21 = 0
(resp. d(P, π) = 27 )
b)P = (1, 1, 15
6 ) e π : 4x − 6y + 12z + 21 = 0.
5
c)P = (9, 2, −2) e π : X = (0, −5, 0) + λ(0, 12
) + µ(1, 0, 0).

7. Calcule a distˆancia entre a reta e o plano paralelos nos seguintes casos:

 x = 1+t
y = 1 + 3t
a)r :
e π : {2x − 2y + z − 10 = 0

z = 1 + 4t
(resp. d(r, π) = 3)
8. Calcule a distˆancia entre osplanos paralelos nos seguintes casos:
a)π1 : {2x − y + 2z + 9 = 0 e π2 : {4x − 2y + 4z − 21 = 0
(resp. d(π1 , π2 ) = 13
2 )

 x = 2−λ−µ
y = µ
e x + y + z = 25
b)r :

z = λ
9. Calcule
m para que a distˆancia entre o ponto P = (m, 3m, m − 2) e o plano π : {2x + y − z + 3 = 0 seja
√
6.(resp.m = 14 ou m = − 11
4 )
10. Ache os pontos de r :

x+y = 2
que distam 3 do ponto A = (0, 2, 1).
x = y+z

11. Acheos pontos de r : x − 1 = 2y = z que equidistam dos pontos A = (1, 1, 0) e B = (0, 1, 1).
12. Determine o ponto de π : 2x − y + z − 2 = 0 tal que a soma de suas distˆancias a P e Q seja m´ınima nos casos:
a) P = (2, 1, 0) e Q = (1, −1, 1)
b) P = (2, 1, 0) e Q = (1, −1, 2)
13. Ache os pontos da reta r :

√
x+y = 2
que distam 6 de π : x − 2y − z = 1.
x = y+z

14. Ache os pontos da reta r : x − 1 =...