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CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BÁSICAS PARA INGENIERÍA

Instituto de Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
Universidad Austral de Chile

GUÍA DE APRENDIZAJE N°4
BAIN037 CÁLCULO I PARA INGENIERÍA
-

Resultados de
Aprendizaje

- Resuelve problemas simples en el área de la geometría y la física
utilizando sumas de Riemann y propiedades de la Integral Definida.
- Utilizadiferentes técnicas que permiten calcular integrales indefinidas
o primitivas.
Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo o el teorema de cambio
de variables para integrales definidas para obtener el valor de integrales
definidas, cuando corresponde.

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-

1. Integral de Riemann.
2. Teoremas Fundamental del Cálculo.
3. Técnicas de Integración.

Contenidos
1. Integral de RiemannDefinición:
Si f es una función definida en un intervalo cerrado  a, b y x0 , x1 ,..., xn son puntos del intervalo  a, b
tales que
a  x0  x1  ...  xn1  xn  b,

Si además xi  xi  xi 1 , P = máx xi y xi*   xi , xi 1  , entonces la Integral de Riemann o Integral
definida de f , desde a hasta b , es



b

a

f  x dx  l í m  f  xi* xi si es que el límiteexiste.
n

P 0

i 1

En tal caso se dirá que la función f es integrable en  a, b .

ba
y los puntos xi* se
n
ba
escogen como el extremo derecho de cada intervalo  xi 1 , xi  , entonces xi*  a  i
y se tiene que
n
b
ba n 
ba
f
x
dx

l
í
m
f a i




a
n 
n i 1 
n 
Si en particular, los puntos x0 , x1 ,..., xn son equidistantes, entonces xi 1

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Guía de aprendizaje N° 5

Ejemplo:



b

a

ba n 
ba
x dx  l í m
ai



n 
n i 1 
n 

2

2

2
n
 b  a  n 2 n
ba
ba 2 
 lí m
   a   2a 
i  
i 
n 
 n   i 1
 n  i 1  n  
i 1

 b  a  2
ba n
ba 
 lí m
na
2
a
i 






n 
 n  
 n  i 1  n 

2

n

i
i 1

2






1 (b  a)2
1
1 
 l í m(b  a)  a 2  a(b  a)(1  ) 
(1  )(2  ) 
n 
n
6
n
n 


(b  a)2  b3  a3
 (b  a)  a 2  a(b  a) 
2 
.
6
3


1
1
En particular  x 2 dx  .
0
3
En general, se obtiene que:



b

a

xdx 

b2  a 2
,
2

b

a

x 2 dx 

b3  a 3
, …,
3



b

a

x n dx 

bn1  a n1
, n  1
n 1

Integrabilidad:
Sea f :  a, b  ,
1. Si f es continua en  a, b , entonces f es integrable en  a, b.

2. Si f es monótona en  a, b , entonces f es integrable en  a, b.
Observaciones


Si f es discontinua en ciertos puntos de  a, b , entonces



cantidad finita dediscontinuidades y todas son de salto, entonces f se dice continua a trozos y es
integrable.
Para hablar de integrabilidad según Riemann, la función al menos debe ser acotada en el intervalo  a, b .

Ejemplos:
1. Las funciones polinómicas son continuas en

 a, b  

 f  x dx podría existir o no. Si
b

a

tiene sólo una

, por lo tanto son integrables en cualquier intervalo.

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Guía de aprendizaje N° 5

2.

Las funciones racionales son continuas en cualquier intervalo cerrado contenido en su dominio. Por
x
ejemplo, el dominio de la función f  x  
es  1, 2 de donde podemos concluir
 x  1 x  2 
que f es integrable en  3, 0 y también lo es en el intervalo [5 /2,10] . Observemos que f no es
acotada en [0,3 / 2] , por lo tanto no sería integrable en el sentido de Riemann. Más adelante,
veremos como tratar este tipo de casos.

3. La función

 x 1
f  x  
2  x

si

0  x 1

si

1 x  5

es integrable en 1,5 ya que es continua a trozos

y los límites lím f  x  , lím f  x  , existen y son finitos (discontinuidad de salto)....