logistica

12. Regresi´n lineal
o
Estad´
ıstica
Ingenier´ Inform´tica
ıa
a

Curso 2009-2010

Estad´
ıstica (Aurora Torrente)

12. Regresi´n lineal
o

Curso 2009-2010

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Contenidos

1

Introducci´n
o

2

Modelo de Regresi´n Lineal Simple
o
Estimaci´n de los par´metros del modelo
o
a
Propiedades de los estimadores
Intervalos de confianza
Contrastes de hip´tesis
o3

An´lisis de la varianza
a

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ıstica (Aurora Torrente)

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o

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Introducci´n
o

Modelos de Regresi´n:
o
Estudian la relaci´n estoc´stica (cuantitativa) entre
o
a
una variable de inter´s Y (respuesta o dependiente), y
e
un conjunto de variables explicativas (X1 , ..., Xn ) (regresoras o
independientes)
Posibles situaciones:Existe una relaci´n funcional entre ellas: el conocimiento de las
o
variables regresoras determina completamente el valor que toma la
variable respuesta.
No existe ninguna relaci´n entre la variable respuesta y las variables
o
regresoras: el conocimiento de ´stas no proporciona ninguna
e
informaci´n sobre el compartamiento de la otra, son independientes.
o
Caso intermedio: existe unarelaci´n “estad´
o
ıstica” entre la variable
respuesta y las variables regresoras: el conocimiento de ´stas permiten
e
predecir con mayor o menor exactitud el valor de la variable respuesta.
Es el caso m´s habitual. Su estudio corresponde a los Modelos de
a
Regresi´n.
o
Estad´
ıstica (Aurora Torrente)

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o

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Introducci´n
o

Modelo:Y = g (X1 , ..., Xn ) +
donde la funci´n g es desconocida, y
o
variable aleatoria de media cero.

es el error de observaci´n, una
o

Objetivo b´sico: estimar la funci´n de regresi´n, g , y el modelo
a
o
o
probabil´
ıstico que sigue el error aleatorio (f , F , P...) a partir del
conocimiento de una muestra aleatoria de las variables en estudio.
Una vez estimadas se puede:
tener unaidea general del comportamiento de la variable respuesta en
funci´n de las regresoras,
o
estimar y predecir el valor de la variable respuesta de un individuo del
que se conocen los valores de las variables regresoras,
calcular un intervalo de predicci´n del mismo...
o
Estad´
ıstica (Aurora Torrente)

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o

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Modelo de Regresi´n LinealSimple
o

Modelo de Regresi´n Lineal Simple
o
Modelo m´s sencillo: estudia la relaci´n lineal entre la variable respuesta Y
a
o
y una variable regresora X , a partir de una muestra (X1 , Y1 , ..., Xn , Yn )
que sigue el siguiente modelo lineal:
Yi = αXi + β +

i

i = 1, ..., n

donde se supone que se verifican las hip´tesis del modelo:
o
los errores tienen media cero: E [ i ] = 0 i =1, ..., n.
Consecuentemente, E [Yi ] = αXi + β i = 1, ..., n
la varianza del error es constante: V ( i ) = σ 2 , i = 1, ..., n
(homocedasticidad). Consecuentemente, V (Yi ) = σ 2 , i = 1, ..., n
la distribuci´n del error es normal, N(0, σ). Consecuentemente,
o
Yi ≡ N(αXi + β, σ)
los errores son independientes: cov ( i , j ) = 0. Consecuentemente, las
observaciones Yi tambi´n lo son.
eEstad´
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o

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Modelo de Regresi´n Lineal Simple
o

Ejemplo

3
2
Y
1
0

0

1

Y

2

3

X : dosis de un analg´sico (en mg); Y : n´mero de horas de alivio del dolor.
e
u
Se estudia la posible relaci´n lineal entre X e Y en 50 pacientes:
o

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.00.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

X

0
−2

0.0

−1

0.1

0.2

Residuos

1

0.3

2

X

−2

−1

0

1

2

1.1

Residuos

Estad´
ıstica (Aurora Torrente)

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

Valores predichos

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Modelo de Regresi´n Lineal Simple
o

Estimaci´n de los par´metros del modelo...