Los naturales

Los naturales como un sistema formal

Ejemplo de un sistema formal:
Una cadena es una combinación de “ies” y “ues” construidas a partir de la cadena “i”, usando una o más de las siguientes reglasde manera secuencial y finita:
i. Al agregar “u” al final de una cadena se tiene otra cadena.
ii. Si aparece “uu” en una cadena, se puede eliminar “uu” y se obtiene otra cadena.
iii. En unacadena se puede sustituir “iii” por “u” para obtener otra cadena.
iv. Al agregar a una cadena su réplica, se obtiene otra cadena.
Un juego es demostrar que “uiu” es una cadena. Otro es determinar si“”iuu” es cadena.

Para comenzar una teoría se necesitan términos primitivos. Por ejemplo, “el conjunto N”, “el sucesor”, “la pertenencia” y la “igualdad” son términos primitivos.
En los naturales, losaxiomas son:
i. 0 (o uno) pertenece a N.
ii. Todo número tiene sucesor.
iii. Si dos números son distintos, sus sucesores también son distintos entre sí.
iv. El cero no es sucesor de número alguno.v. Si un subconjunto contiene al cero y en él vale “si x pertenece al conjunto, también pertenece el sucesor”, entonces el subconjunto es N.
Los siguientes desafíos son teoremas (de la teoría de losnúmeros naturales):
a) Ningún número es igual a su sucesor.
b) Todo número distinto al cero es sucesor de algún otro.
Definición: Se dice que a es ANTECESOR de b si b es sucesor de a.
c) Elantecesor es único para cada número natural.
d) Para cada par de naturales X e Y es posible encontrar un número natural que cumple : (i) es X, si Y es cero, y (ii) es el sucesor del número que lecorresponde a X e ANT(Y), si Y no es cero.
e) El número propuesto en el desafío anterior es único.
f) El número propuesto para X e Y del desafío anterior se llama SUMA de X e Y.
g) La suma es asociativa.h) El 0 es el neutro en la suma.
i) Vale la propiedad cancelativa en la suma.
Nota: Los términos en negrita deben ser definidos, existen otros teoremas y definiciones. Por ejemplo se define el...