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Campos vectoriales. Un campo vectorial es en Rn es una aplicación Rn → Rn queF:A asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, Fes un campo vectoriales del espacio.
Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En contraste, una aplicación f:A Rn → R que asigna un número a cada punto es un campo escalar. Uncampo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así que
F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).
De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene ncomponentes F1, ..., Fn. Si cada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que sediga lo contrario.
3. Teorema De Green
∫ f ’(x) dx = f(b) – f (a)
Dice que la integral de una función sobre un conjunto S = [a, b] es igual a una función relacionada (la antiderivada) evaluada decierta manera sobre la frontera de S, en este caso consta sólo de dos puntos, a y b.
Teorema A
Sea C una curva cerrada simple, suave por partes, que forma la frontera de una región S plano xy. Si M(x,y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas continuas sobre y su frontera C, entonces
∂N_ – ∂M_ dA = M dx + N dy
∂x ∂y
s
Demostración. Probemos el teorema para el caso en el que S es tantox-simple como y-simple y discutiremos después las ampliaciones al caso general. Puesto que S es y-simple, tiene la forma de la figura 1; es decir,
S = {(x, y): g(x) ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b}

Figura 1Su frontera C consta de cuatro arcos C1, C2, C3, y C4 (C2 o C4 pueden ser degenerados)

M dx = ∫C1 M dx + ∫C2 M dx + ∫C3 M dx + ∫C4 M dx
Las integrales sobre C1 y C4 son cero, puesto que sobre estascurvas x es constante, por lo que dx = 0. En consecuencia,

M dx = ∫ M (x, g(x)) dx + ∫ M (x, f(x)) dx
= -∫ [M (x, f(x)) - M (x, g(x))] dx
= - ∫ ∫ ∂M(x, y) dy dx
∂y
= - ∫ ∫ ∂M dA
∂y
El...