magister

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

ANALISIS NUMERICO

˜
”ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS”

Lic :David Vela

- DEBER ESPECIAL 3 ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALORES EN LA FRONTERA

1.[PROBLEMA:] Considere el problema siguiente

 −y (x) + Q(x)y(x) = f (x)en [0 5 ]




(1)

y(0) = y(5) = 0

1.1 Discretice este problema, utilizando diferencias finitas para la variableespacial
x.
1.2 Resuelva num´ricamente este problema usando el esquema planteado en el nue
meral anterior, considerando que:
f (x) = π 2 sin(πx) y Q(x) = sin(πx).

(2)

Para encontrar la forma de lamatriz soluci´n de la ecuaci´n diferencial con las cono
o
diciones de frontera usamos el m´todo de las diferencias finitas.
e
Para encontrar esta matriz vamos a discretizar el intervalo [0, 5]; esdecir le subdividimos en n subintervalos de longitud h, en donde
h=

b−a
5−0
5
=
= .
n
n
n

Por otra parte, la f´rmula de diferencias finitas centradas, para aproximar y , para
o
valoresde k = 1, 2, 3, ..., (n − 1), es:
y (xk ) =

y(xk ) + h − 2y(xk ) + y(xk − h)
.
h2

Pero, si en la ecuaci´n anterior hacemos
o
yk = y(xk );

(3)

y por tanto yk+1 = y(xk + h) y yk−1 =y(xk − h), se tiene que
yk =

yk+1 − 2yk + yk−1
.
h2

(4)

Entonces, la ecuaci´n (1) se puede escribir en la forma
o
−y (xk ) + Q(xk )y(xk ) = f (xk ).
Pero, si en esta ecuaci´n consideramos(2), se tiene
o
−yk + Q(xk )yk = f (xk ).
1

(5)

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Lic :David Vela

Podemos ahora reemplazar(3) en (4); obteniendo la siguiente ecuaci´n diferencial
o
−yk+1 + 2yk − yk−1
+ Q(xk )yk = f (xk ).
h2
Simplificando esta ultima expresi´n se tiene
´
o
−yk+1 + 2yk − yk−1 + h2 Q(xk )yk = h2 f (xk)
−yk+1 + (2 + h2 Q(xk ))yk − yk−1 = h2 f (xk );

(6)

para valores de k = 1, 2, 3, ..., (n − 1).
A continuaci´n, vamos a generar el sistema de ecuaciones, con las inc´gnitas y1 , y2 , ...,...