Magisterio

Capítulo 3. OPTIMIZACION CON
RESTRICCIONES IGUALDAD
BIBLIOGRAFIA

Barbolla, Cerdá, Sanz
Sydsaeter
M. Vázquez
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Un Programa se dice con restricciones igualdad si su conjunto de
soluciones factibles está definido por curvas de nivel de campos
escalares. Es decir

Opt f ( x, y )
sa g(x, y )  c
Podemos asegurar la existencia de solución global?
El conjunto de soluciones factibleses cerrado. Por tanto, supuesto que la función es
continua, podremos aplicar el Teorema de Weierstrass cuando sea compacto.

Bajo qué condiciones la solución, si existe, es global?
Analiza la convexidad del programa.
2

Observa. En este tipo de programas nunca se verifican Weierstrass y la
convexidad del programa simultáneamente. Para que el programa sea convexo
necesitas que larestricción sea una recta, que no es un conjunto compacto (no es
acotado).

Ejemplos. Sea el programa

(I)

Opt 2x 2  y 2
s.a x  y  1

El programa (I) es convexo para mínimo (no para Máximo) pero el conjunto
no es compacto luego no podemos asegurar la existencia de solución (si existe
el mínimo es global y único).
Resolvemos el problema mediante el método de sustitución.

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( I )Opt 2x 2  y 2
s.a x  y =1

Puesto que los puntos en los que estamos interesados deben verificar x+y=1,
despejamos la variable y en esta ecuación y sustituimos en la función objetivo. Así
( I ) Opt 2x 2  y 2
s.a x  y  1

 Opt 2x 2  (1  x)2

Y por tanto, podemos resolver como un problema sin restricciones en una variable
Condición Primer Orden: f ´( x)=4x  2(1  x)  0  x* 

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(1/3,2/3) Punto de tangencia

Condición Segundo Orden: f ´´( x)=6>0 
Función est. CX  min global

f ( x, y)

Para resolver el problema original,
buscamos el compañero de x* en la
restricción y por tanto
2
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y*   ( , ) es el mínimo global
3
33
del problema (y no hay Máximo).

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EL METODO DE LAGRANGE. CONDICION NECESARIA DE OPTIMO.
El método que presentamos acontinuación se basa en el método de sustitución. Para ello,
pediremos que, al menos localmente, sea posible aplicar el teorema de la función implícita
en la restricción y así poder determinar una variable en función de la otra. La
demostración del teorema excede al contenido del curso, sólo daremos una idea intuitiva
(gráfica). Para una demostración más formal podéis consultar el texto de Barbolla,Cerdá y
Sanz “Optimización” ED. Garceta (pag 186)
Opt f ( x, y )

Definición. Sea el programa

sa g ( x, y )  c

Definimos la función lagrangiana asociada al programa anterior como
L( x, y;  )  f ( x, y)   ( g ( x, y)  c)

donde el coeficiente  se denominará multiplicador de Lagrange.
Si tenemos tres variables y dos restricciones, la función lagrangiana asociada la
escribiríasL( x, y, z;  )  f ( x, y, z)  1 ( g1 ( x, y, z)  c1 )  2 ( g2 ( x, y, z)  c2 )
Y por tanto vas a tener tantos multiplicadores como restricciones.

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Teorema 1 . Sea el programa

Opt f ( x, y )
sa g ( x, y )  c

Supongamos que (x*,y*) es un óptimo (Máx o min) local o global del programa y
que g ( x*, y*)  (0,0) . Entonces existe un valor  * tal que
L
( x*, y*) 
xL
( x*, y*) 
y
L
( x*, y*) 


f
( x*, y*)   *
x
f
( x*, y*)   *
y

g
( x*, y*)  0
x
g
( x*, y*)  0
y

 g ( x*, y*)  c  0

QUE NOS DICEN ESTAS ECUACIONES?

La última ecuación simplemente indica que el punto de óptimo ha de ser factible. Las
dos primeras indican que el punto de óptimo cumple la condición necesaria de óptimo
de la funciónlagrangiana en un programa sin restricciones. Observa que las
ecuaciones 1 y 2 se pueden escribir como
f ( x*, y*) es paralelo a g ( x*, y*)  f ( x*, y*)  g ( x*, y*)

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f

Curvas de nivel de la función objetivo

Recta tangente

g(x,y)=c

Dirección de los gradientes
de los campos g(x,y) y f(x,y).
El sentido de g ( x, y) no está
determinado en el gráfico.

En el punto de...