Magnetismo

CENTRO ESTUDIOS TECNOLÓGICOS NO. 1
“Walter Cross Buchanan”

ESPECIALIDAD: SISTEMAS MECANICOS INDUSTRIALES.

ASIGNATURA: GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMAS:
“Ejercicios de Parábola, Elipse e Hiperbole”



Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijodel plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija directriz.

La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la parábola con el eje focal se denomina vértice. La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.

Loselementos de una parábola son entonces: vértice, foco, longitud del lado recto, y la ecuación de la directriz. Nosotros estudiaremos únicamente las parábolas con ejes focales paralelos al eje X o al eje Y. La distancia del vértice a la directriz es la misma distancia del vértice al foco.

* Teorema:
La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y-k)² = 4p(x - h) y sus elementos son los siguientes:
Foco (h + p, k)
Directriz x = h - p
Eje focal y = k
Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice.
Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha.
Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la forma (x - h)² = 4p(y - k) ysus elementos son:
Foco (h, k + p)
Directriz y = k - p
Eje focal x = h
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
 

EJERCICIOS.
|
|
1. Usando  la  definición,  hallar la ecuación  de la parábola  que tiene su  foco en  F(2,0)  y su dirección Directriz es la recta de ecuación x = -2.Solución:Se traza la gráfica con los elementos dados.| De acuerdo a la definición, un punto  
Pero,  Luego, 
Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene: 
|
 De donde y2 = 8x es la ecuación de la parábola pedida. |

2. Dada la parábola que tiene por ecuación 
x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.
Solución:
. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 <0.
 
| Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo. 
El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2).
La ecuación de la directriz es la recta ,  
es decir,  |
3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la parábola  Determine el foco y la ecuación de la directriz
Solución: 
Como se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación(1) y por lo tanto B pertenece a la parábola. 
 
| Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema 1. con lo cual En consecuencia, el foco se encuentra localizado  
en el punto  y la ecuación de la directriz  
es la recta  |

4. Dada la ecuación (y’)2 = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y.
Solución: La ecuación (y’)2 = 4x’ representa en el sistema x’-y’ una parábola con vértice en O’(2, 3). La  parábola  se abre hacia la derecha  y  además  2p = 4, de  donde p = 2.  Con lo cual 
= distancia del vértice al foco. 

 
|

Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) que:
 de donde  

 
Sustituyendo los valores de x’ e y’ en la ecuación inicial, se obtiene:

Esta última  ecuación,  representa  una parábola  cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1.

5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de  ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).
Solución:
Como la directriz es la recta de ecuación x = 2,...