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Capitulo 7
Ecuaciones Diferenciales Numéricas
Problema de Valor Inicial y Método de Euler
Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre losmás sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en terminos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales.Usualmente estas ecuaciones estan acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solucón exacta de un problema de valor inicial es imposible ó dificil de obtener en forma analítica. Por talrazón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. Comenzaremos discutiendo los métodos para ecuaciones escalares y luego generalizamos los mismos a sistemas de ecuaciones.
El Método de Euler: Considere el problema de valor inicial para la función (desconocida) y(t) descrito por:

Defina para n0 los siguientes cantidades:

Para cualquier j0, tenemos por el Teoremade Taylor que podemos escribir:

Eliminando los terminos O(h2) obtenemos la aproximación:

Denotamos ahora por yj una aproximación de y(tj). Entonces motivado por la aproximación de arriba definimos las aproximaciones {yj} por la recursión:

lo que se conoce como el método de Euler. La cantidad

la cual descartamos en la serie de Taylor para obtener las aproximaciones, se llama elerror de truncación o local del método de Euler y esta intimamente relacionada con la convergencia del método. De hecho si definimos los errores absolutos por ej=y(tj)-yj, entonces restando la expansión de Taylor y la formula del método se obtiene que

Suponiendo ahora que f cumple una Condición de Lipschitz uniforme en t, i.e.,

para alguna constante L, entonces se puede verificar que de larecursión de los errores obtenemos que:
(*)
lo que prueba que el método tiene un orden de convergencia global O(h).
La implementación en MATLAB del método de Euler es relativamente simple. Hacemos esto mediante una subrutina llamada feuler que recibe en la secuencia de llamada el nombre de la subrutina que calcula la función f, y los datos t0, b, y0, n. Esta subrutina devuelve dos vectores conlas t's y las y's aproximadas. Veamos:
function [tvals,yvals]=feuler(f,t0,b,y0,n)
h=(b-t0)/n;
tvals=zeros(1,n+1);
yvals=zeros(1,n+1);
index=[0:1:n];
tvals=t0+h*index;
yvals(1)=y0;
for i=2:n+1
yvals(i)=yvals(i-1)+h*feval(f,tvals(i-1),yvals(i-1));
end
Usamos ahora esta subrutina en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1: Considere el problema de valor inicial

cuya solución exacta esy(t)=(t+1)5e-t. Definimos la siguiente función en MATLAB que evalúa el lado derecho de la ecuación diferencial:
function f=etest(t,y);
f=5*y/(t+1)-y;
Ahora resolvemos este problema para n=20 y gráficamos la solución numérica junto con la exacta para comparar los resultados usando las siguientes instrucciones en MATLAB:
[t,y]=feuler('etest',0,4,1,20);
yy=(t+1).^5.*exp(-t);
plot(t,y,'x',t,yy)Las soluciones numéricas se ilustran en la figura por las "x". Note que las aproximaciones numéricas no coinciden con la solución exacta y que el error aumenta según aumenta la "t". Esto es lo usual y no contradice el estimado del error (*) de arriba donde el error puede crecer hasta exponencial con respecto al largo del intervalo. Para controlar el error lo primero que se hace es disminuir...