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Rev. Int. M´et. Num. C´alc. Dis. Ing.
M´etodos Num´ericos para
C´alculo y Disen˜o en Ingenier´ıa




C´alculo de la matriz modal de un sistema din´amico a partir de las constantes modales utilizando t´ecnicas de optimizaci´on

Luis Manuel Villa Garc´ıa
Dpto. de Construcci´on e Ingenier´ıa de Fabricaci´on Edificio Dptal. Oeste, M´odulo 7, 1a Planta Universidad de Oviedo,Campus de Gij´on
33203 Asturias, Espan˜a
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Resumen

El presente trabajo describe y aplica una alternativa para la resoluci´on del problema inverso del c´alcu- lo de la matriz modal [Φ], en un sistema din´amico con amortiguamiento hister´etico o estructural
-no proporcional-, a partir de lasconstantes modales r Ajk , empleando t´ecnicas de optimizaci´on. Se propone un m´etodo de descomposici´on para trabajar con magnitudes complejas, que permite tratar separadamente la parte real e imaginaria, incluso en operaciones matriciales producto, as´ı como un ejemplo del mismo para la implementacion en programas comerciales de optimizaci´on.


Palabras clave: Din´amica Estructural,An´alisis Modal, Identificaci´on, Optimizaci´on.



CALCULATION OF THE MODAL MATRIX OF A DYNAMIC SYSTEM FROM ITS MODAL CONSTANTS USING OPTIMIZATION TECHNIQUES


Summary

The present paper describes and applies an alternative for solving the inverse problem of calculating the modal matrix [Φ] of a dynamic system with hysteretic or structural (non-proportional) damping from themodal constants r Ajk using optimization techniques. A decomposition method is proposed for working with complex magnitudes that allows the real and imaginary parts to be treated separately, even in product matrix operations, along with an example of this method to be implemented in commercial optimization programs.


Keywords: Structural Dynamics, Modal Analysis,Identification, Optimization.



















°c Universitat Polit`ecnica de Catalunya (Espan˜a). ISSN: 0213–1315 Recibido: Septiembre 2006Aceptado: Junio 2007



INTRODUCCIO´ N

Una expresi´on general para los elementos de la matriz de receptancia, en funci´on de las propiedades modales, es1:

X j
N Ψjr Ψkr
αjk (ω) = F =

m (ω2 22
(1)
k r=1
r r − ω
+ i ηr ωr )

donde Ψjr y Ψkr son los elementos j y k, respectivamente, del modo de vibraci´on {Ψr }. En t´erminos f´ısicos, (1) puede interpretarse como que la respuesta total es el resultado de la suma de contribuciones de las respuestas de N sistemas de un grado de libertad.
En el caso general de amortiguamiento no proporcional, elnumerador de (1) es com- plejo, mientras que en los casos sin amortiguamiento o con amortiguamiento proporcional es una cantidad real. Tomando en consideraci´on los modos de vibraci´on (autovectores) normalizados con respecto a la masa

X j
X Φjr Φk r
αjk (ω) =
k

o
=
r=1

r − ω2

+ i ηr ω2
(2)
X j
N r Ajk



donde
αjk (ω) =
k
=
r=1

r− ω2

+ i ηr ω2
(3)
r Ajk = r Ajk ei r ϕjk (4)
es una cantidad compleja conocida como constante modal o residuo, para la cual se verifica
¯ Ψjr Ψkr ¯
r Ajk = ¯
¯ mr

y
¯ = |Φjr Φkr | (5)
¯

r ϕjk = arg
µ Ψjr Ψkr ¶
mr

= arg(Φjr Φkr ) (6)
que son unas magnitudes constantes para unos r, j y k dados. Dos importantes conclusiones pueden ser extra´ıdas de las expresiones anteriores. La primera, es claro que la matriz de receptancia del sistema es sim´etrica

X j
αjk =
k
X k
= αkj =
j

(7)

(principio de reciprocidad) y segunda, que las ctes. modales est´an...