mapa conceptual

Año académico: 2006-2007


I.E.S. “La Ería”


Departamento Didáctico de Matemáticas


Nivel: ESO
2º ciclo



Complementos teórico-prácticos.
Tema: Inecuaciones en dos variables.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y pro­fesor agregado de Matemáticas en E.S.

Inecuaciones.


Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entreexpresiones numé­ricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad.
Inecuaciones de primer grado con dos variables: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.
Expresión general: son de la forma y todas sus equivalentes , o , etc. …
Representan zonas del plano, o dividen al plano en zonas.
Pueden ser de grado mayorque uno en las dos o en una sola de las varia­bles.
, o bien .
Como mucho estudiaremos del tipo primero, las del tipo segundo requie­ren de un conocimiento de las cónicas del que aún no disponemos. Las del tipo primero, pese a tratarse también de cónicas, éstas ya las conoce­mos como función cuadrática o parábola simple, es decir, ecuaciones de la forma .
Método de resolución: se trata en elfondo de ecuaciones de rectas o parábolas que debemos resolver y luego analizar las zonas del plano en que se cumple la desi­gualdad inicial.
Para las inecuaciones de la forma , pasamos primero a la ecua­ción lineal , despejando de modo adecuado. Ésta no es más que la ecua­ción de una recta en el plano, la cual divide al mismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales quey el otro los pun­tos tales que . Se trata pues de determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad o inecuación previa. Para ello:
Dibujamos la recta, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de abs­cisas cualquiera y trazamos la perpendicular por el mismo. El punto en que ésta corta a la recta es tal que , prolongando la perpendi­cular encontraremos los puntos tales que , y pordebajo estarán los que cumplen que .
Ejemplo_1: sea la inecuación . Pasamos a la ecuación de la recta , la cual dibujamos dando valores a x e y.
con estos dos puntos es suficiente, ya que por dos puntos pasa una y solo una recta.
Trazamos una recta vertical por un punto cualquiera del eje de abscisas. El punto en que ésta corta a la recta la ordenada y cumple la ecuación de la misma, es decir y =r, un punto por encima es mayor y uno por debajo es menor. Como nuestra inecuación, despejada la y, es , los pun­tos que la cumplen son los del semiplano sombreado. La recta no está incluida por ser la desigualdad estricta.

Ejemplo_2: , es similar al anterior, solo cambia el sen­tido de la desigualdad y el hecho de que ahora no es estricta. Pasa­mos a la ecuación , igual que antes. Damos valoresa x e y para dibujarla:
la dibujamos y procedemos como antes. Ahora la rec­ta está incluida en la solución.















Para las inecuaciones de la forma , pasamos primero a la ecuación , despejando de modo adecuado. Ésta no es más que la ecua­ción de una parábola en el plano, la cual divide al mismo en dos semipla­nos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales que yel otro los pun­tos tales que . Se trata pues de determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad o inecua­ción previa. Para ello:
Dibujamos la parábola, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de abscisas cualquiera y trazamos la perpendicular por el mismo. El punto en que ésta corta a la parábola es tal que , prolongando la perpendi­cular encontraremos los puntos tales que, y pordebajo estarán los que cumplen que.
Ejemplo_1: sea la inecuación . Pasamos a la ecuación, des­pejando siempre la y, la cual dibujamos dando valo­res a x e y, o bien aplicando las técnicas vistas para dibujar parábo­las, es decir:
Buscar el vértice y los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas, los cuales son:
Vértice,
Puntos de corte con el
Punto de corte con el...