Master en Ciencias Fisicas

Funciones de Bessel - F´rmulas
o
Agust´ Nieto
ın
Departamento de F´
ısica
Universidad de Oviedo
25 de mayo de 2009
Resumen
Se dan f´rmulas relacionadas con las funciones de Bessel de primera, segunda y tercera especie,
o
las funciones de Bessel modificadas y las funciones esf´ricas de Bessel.
e

Funciones de Bessel de 1a especie

1.
1.1.

Ecuaci´n de Bessel
o

La ecuaci´n deBessel de orden ν es
o
z 2 u (z) + z u (z) + (z 2 − ν 2 ) u(z) = 0 .

(1)

Cuando ν no es un n´mero entero, la soluci´n general es de la forma
u
o
u(z) = A Jν (z) + B J−ν (z) ,
donde A y B constantes y

∞

Jν (z) =

bessel.nb

j=0

(−1)j
Γ(j + 1) Γ(j + ν + 1)

(2)

z
2

2j+ν

(3)

Si ν es un n´mero entero, v´ase la secci´n dedicada a las funciones de Neumann(funciones de Bessel de
u
e
o
2a especie).

1.2.

Propiedades

1
0.8
0.6
0.4
0.2

J0 HzL

J1 HzL

2

J2 HzL
4

6

-0.2
-0.4
1

8

z

Funciones de Bessel – A.Nieto

2

1.
J1/2 (z)
J−1/2 (z)

2
sin z
πz
2
cos z
πz

=
=

(4)
(5)

2. Cuando |z| → 0,
J0 (z) ≈

z
2

1−

2

(6)
ν

1
z
Γ(ν + 1) 2
z
J0 (z) ≈ −
2
z ν−1
1
Jν (z) ≈
2Γ(ν)2
Jν (z) ≈

ν=0

(7)
(8)

ν=0

(9)

3. Para las funciones de Bessel de orden entero n:
=

Jn (−z)

(−1)n Jn (z)

(10)

=

J−n (z)

n

(11)

(−1) Jn (z)

4. Relaciones de recurrencia
Jν−1 (z) + Jν+1 (z)

=

Jν−1 (z) − Jν+1 (z)

=

o, de forma equivalente,
Jν±1 (z) =

ν
Jν (z)
z

2ν
Jν (z)
z
2Jν (z)

(12)
(13)

Jν (z)

5. F´rmula wronskiana
oJν (z) J−ν (z) − Jν (z) J−ν (z) =

(14)

−2 sin(πν)
πz

(15)

6.
d
z ν Jν (z)
dz
d
z −ν Jν (z)
dz
7.

b

z Jν (kz)Jν (lz) dz =
a

= z ν Jν−1 (z)

(16)

= −z −ν Jν+1 (z)

(17)

1
lz Jν (kz)Jν (lz) − kz Jν (lz)Jν (kz)
k 2 − l2

8.
2
z Jν (kz) dz =

1 2 ν2
z2
2
z − 2 Jν (kz) +
J (kz)
2
k
2 ν

b

(18)
a

2

(19)

9. La funci´n generatriz delas funci´nes de Bessel de 1a especie es
o
o
g(z, t) ≡ exp

z
2

t−

1
t

+∞

Jn (z) tn

=
n=−∞

(20)

Funciones de Bessel – A.Nieto

3

10.

+∞

Jn (x + y) =

Jk (x) Jn−k (y)

(21)

Jn (z) einθ

(22)

k=−∞

11.

+∞

e

iz sin θ

=
n=−∞

o
+∞

cos(z sin θ)

= J0 (z) + 2

J2k (z) cos(2kθ)

(23)

J2k+1 (z) sin [(2k + 1)θ]

(24)

k=1+∞

sin(z sin θ)

=

2
k=0

(25)
12. Representaci´n integral de Schl¨fli:
o
a
Jn (z) =

1
2πi

C

e(z/2)(t−1/t)
dt
tn+1

(26)

donde el contorno C es de la forma
t

C

En general
Jν (z) =

1
2πi

C

e(z/2)(t−1/t)
dt
tν+1

(27)

donde con el contorno C es de la forma
t

C

Funciones de Bessel – A.Nieto

4

Tambi´n
e
Jn (z)
Jn (z)

1.3.=
=

1
2π
1
π

π

ei(z sin θ−nθ) dθ

(28)

−π
π

cos(z sin θ − nθ) dθ

(29)

0

Ortogonalidad de la funci´n de Bessel de 1a especie
o

Denotemos como xνk el k-´simo cero de la funci´n de Bessel Jν (x): Jν (xνk ) = 0. Denotemos como
e
o
xνk el k-´simo cero de la derivada de la funci´n de Bessel Jν (x): Jν (xνk ) = 0.
e
o
Consideremos el intervalo 0 ≤ x ≤ a. Entonces,los conjuntos de funciones
xνk
Jν
x
(30)
a
y
xνk
Jν
x
(31)
a
son ortogonales con peso x en dicho intervalo:
a

x Jν
0
a

x Jν
0

xνl
a2
xνk
x Jν
x dx =
J (xνk )
a
a
2 ν

xνk
x Jν
a

2

δkl

a2
xνl
ν2
x dx =
1−
J 2 (x ) δkl
a
2
(xνk )2 ν νk

(32)
(33)

Funciones de Bessel de 2a especie: Funciones de Neumann

2.
2.1.

Definici´n
o

2.2.ν = 0, 1, 2, . . .




 l´ cos(sπ)Js (z) − J−s (z)
 ım
s→ν
sin(sπ)

Nν (z) ≡


 cos(νπ)Jν (z) − J−ν (z)




sin(νπ)

ν = 0, 1, 2, . . .

(34)

Ecuaci´n de Bessel de Orden Entero
o

La ecuaci´n de Bessel de orden entero n es
o
z 2 u (z) + zu (z) + (z 2 − n2 )u(z) = 0 .

(35)

La soluci´n general es de la forma
o
u(z) = AJn (z) + BNn (z) ,

(36)...