Mat024 usm

Universidad T´ cnica Federico Santa Mar´a e ı Departamento de Matem´ tica a Campus Santiago Mat-024

Control 3 Mat-024
Nombre : Paralelo o Nombre del profesor: Problema 1: Calcular x3 + y 3 dA xyD

´ D es la region en el primer cuadrante acotada por las curvas y = x2 , y = 4x2 , x = y 2 y x = 4y 2 . Solucion: ´ Hacer el cambio u = x2 ; y v = y2 1 1 . Se tiene : ≤u≤1; ≤ v ≤ 1. x 4 4  ElJacobiano del cambio de variable es : Jϕ−1 (x, y) = 
2x y y2 − x2

− x2 y
2y x

2

 

| det(Jϕ−1 (x, y))| = 3 As´ ı x3 + y 3 dA = xy
D D 1 1 1/4

x2 y 2 + y x

dA

=
1/4

1 (u +v) du dv 3

=

15 64

Problema 2: Calcular z sen(x2 + y 2 ) dV
V

´ donde V es el solido acotado por las superficies z = cos(x2 + y 2 ) y z = 0 ; con z ≥ 0 ´ y que contiene adem´ s una porciondel eje z . a Solucion: ´ ´ Observar que la funcion z = cos(x2 + y 2 ) es constante en c´rculos centrados en el ı ´ origen. En ese sentido se dice que la funcion es radial (depende solo de ladistancia del ´ punto al origen) y su gr´ fico corresponde a una superficie de revolucion, en este caso al a 2 ) en torno del eje z . giro de la curva z = cos(x ´ En coordenadas cil´ndricas y tomando en cuentalas simetr´as de la region se tiene: ı ı π π (× 4) ; 0 ≤ r ≤ ; 0 ≤ z ≤ cos(r2 ) 0≤θ≤ 2 2 As´: ı √
0

π/2

π/2 0

cos(r2 )

z sen(x + y ) dV = 4 ·
V 0

2

2

z sen(r2 ) · r dz dr dθ√ = 2π
0

π/2

r sen(r2 )

cos2 (r2 ) dr 2

Hacer : t = r2

→

dt = 2r dr . Queda: = π 2
π/2

cos2 (t) sen(t) dt
0 π/2

=−

π cos3 (t) 6

=
0

π 6

´ Problema 3: Calcularel volumen del solido encerrado por la superficie (x2 + y 2 + z 2 )2 = 2z(x2 + y 2 )

Solucion: ´ ´ Observar que de la ecuacion de la superficie se deduce que z ≥ 0 y que hay simetr´as ı respecto delos planos x = 0 e y = 0 . Luego basta calcular el volumen en el primer octante y multiplicar por 4. En coordenadas esf´ ricas la superficie se expresa como : e Luego se tiene : 0≤θ≤ π ; 2 0≤φ≤ π y 2...