Mat1630 Compilado

´ lica de Chile
Pontificia Universidad Cato
´ ticas − Departamento de Matema
´ tica
Facultad de Matema

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C´
alculo III
Resumen de conceptos y problemas resueltos
✫

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Sebasti´
an Soto Rojas
Estudiante de Ingenier´ıa Civil Electricista
(spsoto@uc.cl)

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´ n.Permitida su libre distribucio
´ n.
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© 2015 Sebasti´an Soto Rojas.

v1.0

1

A esas 4 personas.
Quienes hicieron quien soy hoy,
e hicieron posible este trabajo.

Ellas, las 4, saben qui´enes son.

2

´Indice
1. C´
alculo diferencial de funciones Rn −→ R
1.1. Nociones topol´ogicas en Rn

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

6

1.2. L´ımites de funciones Rn −→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Continuidad de funciones Rn −→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.4. Derivadas parciales, diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . .

32

1.4.1. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

50

1.5. Interpretaci´on geom´etrica del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

1.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

1.6.1. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

1.6.2. M´aximos y m´ınimos, matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

82

1.6.3. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2. C´
alculo diferencial de funciones Rn −→ Rm

120

2.1. Diferenciabilidad de funciones Rn −→ Rm y matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . 120
2.1.1. Coordenadas polares, cil´ındricas y esf´ericas (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.2. Teorema de la funci´on impl´ıcita . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.3. Teorema de la funci´on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3. Integrales m´
ultiples

160

3.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
´
3.1.1. Areas
rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.1.2.Regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.1.3. Cambios de variables en integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.1.4. Aplicaciones de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.2. Integrales triples y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.3. Integrales n−m´ultiples (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3

4. Integrales de l´ınea

256

4.1. Integrales de l´ınea para funciones escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.2. Campos conservativos, funciones potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
4.3. El Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 300
4.3.1. Aplicaciones del Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5. Los teoremas fundamentales del C´
alculo Vectorial

333

5.1. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.1.1. Integrales de superficie sobre campos escalares: a´rea de superficies . . . . . . . 333
5.1.2. Integrales desuperficie sobre campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
5.2. La divergencia y el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.3. El Teorema de Kelvin-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.3.1. Aplicaciones avanzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
5.4. El Teorema de la...