MATE

Capitulo 3
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace y es un
proceso matemático mediante el cual funciones definidas en el dominio del tiempo (t ) , son
convertidas en funciones definidas en el dominio complejo ( s ), donde s es una variable compleja,
es decir:

s = s + jw . Esta transformada posee una serie de propiedades que lahacen útil en el

análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la derivación y la
integración se convierten en multiplicaciones y divisiones por “s” respectivamente. Esto transforma
las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas en “s”, las cuales son mucho
más fáciles de resolver.

El proceso de transformación y análisis se puedeilustrar mediante el siguiente diagrama:

Figura 3.1 Proceso de transformación y solución de un sistema lineal.

1

3.1 Definiciones.
La Transformada de Laplace de una función f (t ) definida para todos los números reales t ³ 0 es
la función F ( s ) , definida por:

¥

L [ f (t )] = F ( s) = ò f (t )e - st dt
0

Donde

(3.1.1)

s = s + jw es una variable compleja.

Para que unafunción posea trasformada de Laplace, deberá satisfacer la condición:

ò

¥

0

Para un

s

f (t ) e -s t dt < ¥

(3.1.2)

real y positivo.

La transformada de Laplace de una función f (t ) existe, si la integral de Laplace converge. La
integral de Laplace converge, si f (t ) es seccionalmente continua en todo intervalo finito en el
rango de t > 0 , y si es de orden exponencialcuando t tiende a infinito. Se dice que una función

f (t ) es de orden exponencial, si existe una constante real positiva s tal que la función tienda a
cero cuando t tienda a infinito.

La transformada de Laplace Inversa de F ( s ) es f (t ) y se define mediante la siguiente ecuación:

L-1 [ F ( s) ] =

1

s 1 + j¥

2p j òs

1-

j¥

F ( s)e st ds = f (t )

(3.1.3)

3.2Evaluación de la transformada de Laplace de algunas funciones de uso común.
Ahora procederemos a evaluar la transformada de laplace, de algunas funciones utilizando la
definición propuesta en la ecuación (3,1,1)
1.- Transformada de Laplace de la función escalón unitario. [ u (t ) ]
Dado que la función escalón unitario se define por:

u (t ) = 1, cuando t ³ 0
u (t ) = 0, cuando t < 0

2Entonces:

¥
1
L [u (t ) ] = ò 1e - st dt = - e- st
0
s

¥
0

1
1
1
= - e -¥ + e0 =
s
s
s

2.- Transformada de Laplace de la función exponencial. [ e

L ée
ë

± at

¥

¥

ù = ò e e dt = ò e
û 0
0
± at - st

- ( s m a )t

± at

(3.2.1)

]

-e- ( s m a ) t
dt =
(s m a)

¥

=
0

1
( s m a)

(3.2.2)

3.3 Propiedades de la transformada de Laplace.3.3.1 Linealidad.
Esta propiedad hace que se cumpla la siguiente condición:

é
ù
L ê å ai fi (t ) ú = å ai L [ fi (t ) ]
ë i
û i

(3.3.1)

O también:
¥

¥

¥

0

0

0

L [ af1 (t ) + bf 2 (t ) ] = ò [ af1 (t ) + bf 2 (t ) ] e - st dt = a ò f1 (t )e - st dt + b ò f 2 (t )e- st dt
= aF1 ( s) + bF2 ( s)

(3.3.2)

Ejemplo: Consideremos la función: f (t ) = sen w t , siutilizamos la ecuación de Euler dada por:

e ± jw = cos w t ± jsen w t , entonces podemos expresar que:

sen w t =

1 jw t - jw t
ée - e ù
û
2j ë

(3.3.3)

Por lo tanto:

é1
ù 1 é 1
1 ù
w
L [ sen w t ] = L ê ée jw t - e - jw t ù ú =
ê s - j w - s + jw ú = s 2 + w 2
ë
û
ë2 j
û 2j ë
û

(3.3.4)

3

3.3.2 Derivación Real.

[

]

Dado que L ^ t ) = F ( s ) ,entonces:
f(

¥ d
é df (t ) ù
L ê^ ú = ò
f (t )e - st dt
0 dt
ë dt û

(3.3.5)

Para poder evaluar la integral es necesario realizar una integración por partes, es decir:

ò

b

a

Haciendo u = e

- st

b

u dv = uv a - ò v du
b

a

y dv = df (t ) , entonces du = - se

- st

(3.3.6)

dt y v = f (t )

¥
¥
é d f (t ) ù - st
\L ê
= e f (t ) 0 + s ò f (t )e - st...