Mate

CERTAMEN N◦ 1 MAT023
mi´rcoles 15 de septiembre del 2010
e
90 minutos
Apellido Paterno

Apellido Materno

Nombre

Paralelo

1. Encuentre la curva soluci´n de :
o
(16x + 5y)dx + (3x +y)dy = 0
que pasa por el punto (1, −3).

´
Solucion: La ecuaci´n es homog´nea de grado 1. Sea y = vx, entonces:
o
e
(16x + 5vx) dx + (3x + vx)(v dx + x dv) = 0 ⇐⇒

1
v+3
dx +
dv = 0
x
(v+ 4)2

Integrando se tiene:
ln(x) + ln(v + 4) +

1
y
1
= c ⇔ ln(x) + ln( + 4) + y
=c
v+4
x
+4
x

Reemplazando el punto (1, −3) en esta ecuaci´n se tiene c = 1. Finalmente tenemos:
oln(x) + ln(

y
1
+ 4) + y
=1
x
+4
x

1

2. Resolver: y − 4y + 4y = 4e2x + 25 sen(x).

´
Solucion: La ecuaci´n caracter´
o
ıstica (de la ecuaci´n diferencial homog´nea asociada) es:o
e
r2 − 4r + 4 = 0 ⇒ (r − 2)2 = 0
Entonces, yh (x) = C1 e2x + C2 xe2x . La soluci´n particular, yp (x), debe tener la forma:
o
yp (x) = Ax2 e2x + B cos(x) + C sin(x)
⇒ yp (x) = 2Axe2x + 2Ax2e2x − B sin(x) + C cos(x)
⇒ yp (x) = 2Ae2x + 8Axe2x + 4Ax2 e2x − B sin(x) − C cos(x)
Reemplazando en la ecuaci´n, tenemos:
o
2Ae2x + (3B − 4C) cos(x) + (4B + 3C) sin(x) = 4e2x + 25 sin(x)
Deaqu´ obtenemos el sistema de ecuaciones:
ı

2A = 4

3B − 4C = 0
⇒ A = 2, B = 4, C = 3

4B + 3C = 25
Por lo tanto, yp (x) = 2x2 e2x + 4 cos(x) + 3 sin(x). Finalmente, la soluci´n general es:o
yG (x) = C1 e2x + C2 xe2x + 2x2 e2x + 4 cos(x) + 3 sin(x)

2

3. Las ardillas negras que tienen su h´bitat en las monta˜as rocallosas var´ su poblaci´n
a
n
ıan
o
seg´n un modelo log´u
ıstico modificado el que viene expresado mediante:
dP
= kP
dt

1−

P
N

P
−1
M

donde, k > 0 es el coeficiente de raz´n de crecimiento, N es la capacidad de soporte del
o
ecosistemay M es la constante de escasez y son tales que 0 < M < N , adem´s, P (t) es el
a
n´mero de ardillas negras en el instante t (expresado en a˜os).
u
n
P
P
−1
N
M
b) Encontrar los puntos de...