mate

1

ZENBAKI ERREALAK

27. orrialdea
HAUSNARTU ETA EBATZI

Z-tik Q-ra igaro
■

Esan honako ekuazio hauetako zein ebatz daitekeen Z multzoan eta zein ebazteko behar den zenbaki arrazionalen multzoa, Q.
a) –5x = 60

b) –7x = 22

c) 2x + 1 = 15

d) 6x – 2 = 10

e) –3x – 3 = 1

f) –x + 7 = 6

Se pueden resolver en
Hay que recurrir a

Z a), c), d) y f).

Q para resolver b) ye).

Q-tik Á-ra igaro
■

Ebatzi orain honako ekuazio hauek:
a) x 2 – 9 = 0

b) 5x 2 – 15 = 0

c) x 2 – 3x – 4 = 0

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0

e) 7x 2 – 7x = 0

f) 2x 2 + 3x = 0

a) x 2 – 9 = 0 8 x = ±3
b) 5x 2 – 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = ± √3
c) x 2 – 3x – 4 = 0 8 x =

3±5
3 ± √9 + 16
=
=
2
2

4
–1
—

—

d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 8 x =

5 ± √17
5 ± √25 – 8
=
=
4
4

5+ √17
—
4—
5 – √17
—
4

e) 7x 2 – 7x = 0 8 x 2 – x = 0 8 x = 0, x = 1
f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –

Unitatea 1. Zenbaki errealak

3
2

1

Zenbaki irrazionalak
■

Egiaztatu √2 irrazionala dela. Horretarako, suposatu irrazionala ez dela:
p
√2 = . Eginber bi eta kontraesan batera helduko zara.
q
Supongamos que √2 no es irracional. Entonces, se podríaponer en forma de fracción:

√2 =

p2
p
8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2
q
q

En p 2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de
factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir
la igualdad.
Suponiendo que √2 =

p
llegamos a una contradicción:
q“p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2”.
Por tanto, √2 no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.

■

Lortu F-ren balioa, kontuan hartuta F : 1 neurriko laukizuzen bat eta laukizuzen horri karratu bat kenduz gero lortzen dena antzekoak direla.
1
F–1

F

1
F
=
8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0
F–1
1
—

F=

1 ± √1 + 4
=
2

1 + √5
—
2 —
1 – √5
— (negativo)2

Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F =

2

√5 + 1
2

.

Unitatea 1. Zenbaki errealak

UNITATEA

1

28. orrialdea
1. Kokatu honako zenbaki hauek diagraman:

)

3

3

√3 ; 5; –2; 4,5; 7, 3; – √6 ; √64 ; √–27 ; √–8
Á

Q

Z

Á

N

Q

—
√3

)
7,3
4,5

3 —
– √6

Z

N

5
—
√ 64 = 8

–2

—
√ –8

—
√–27 = –3

3

2.Kokatu aurreko ariketako zenbakiak honako lauki hauetan. Zenbaki bakoitza
lauki batean baino gehiagotan egon daiteke.
ARRUNTAK,

N

Z

OSOAK,

ARRAZIONALAK,
ERREALAK,

Q

Á

EZ ERREALAK

Gehitu beste zenbaki bat (zuk nahi duzuna) laukietako bakoitzean.
ARRUNTAK,
OSOAK,

N

Z

ARRAZIONALAK,
ERREALAK,

Á

EZ ERREALAK

Unitatea 1. Zenbaki errealak

—

5; √ 64
—3

—

5; –2; √ 64; √ –27

)

—

—

Q 5; –2; 4,5; 7,3; 3 –27; √ 64
√
—

)

3

—

—

3

—

√ 3; 5; –2; 4,5; 7,3; –√6; √ 64; √ –27
—
√ –8

3

29. orrialdea
3. Adierazi honako multzo hauek:
b) [4, + @)

a) (–3, –1)

a)
c)

–3

b)

–1 0
3

0

6

d) (– @, 0)

c) (3, 9]
0

4

d)

9

0

4. Adierazi honako multzo hauek:
a) { x / –2 Ìx < 5}

b) [–2, 5) « (5, 7]

c) (– @, 0) « (3, +@)

d) (– @, 1) « (1, + @)

a)

–2

c)

0
0

b)

5

–2

d)

3

0

5

7

0 1

30. orrialdea
1. Kalkulatu honako balio absolutu hauek:
a) |–11|

b) |π|

c) |– √5|

d) |0|

e) |3 – π|

f) |3 – √2|

g) |1 – √2 |

h) |√2 – √3 |

i) |7 – √50 |

a) 11

b) π

c) √5

d) 0

e) |3 – π| = π – 3

f)|3 – √2 | = 3 – √2

g) |1 – √2 | = √2 – 1

h) | √2 – √3 | = √3 – √2

i) |7 – √50 | = √50 – 7

2. Esan x-ren zer baliotarako betetzen diren honako erlazio hauek:
a) |x| = 5

b) |x| Ì 5

c) |x – 4| = 2

d) |x – 4| Ì 2

e) |x – 4| > 2

f ) |x + 4| > 5

a) 5 y –5
c) 6 y 2

d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]

e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@)

4

b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]

f) x <...