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Mediana (geometría)

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Las medianas de un triángulo (líneas rojas) se cortan en el baricentro del mismo.
En geometría las medianas (en algunos países también llamadas transversales de gravedad) de un triángulo son,cada una de los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.
Propiedades


Las transversales de gravedad de un triángulo (líneas verdes) se cortan en el baricentro (centro de gravedad).
Las medianas tienen las siguientes propiedades:
Cada mediana divide al triángulo en dos regiones de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura)dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
Las tres medianas se intersecan en el baricentro, gravicentro, o centroide, marcado como G en la figura.
Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados ,medianas y perímetro , se cumple la siguiente desigualdad:1

Para cualquier triángulo (euclidiano) con lados y medianas , la suma de los cuadrados de las medianas es igual a ¾ de la suma de los cuadrados de sus lados:1

Relación con el centro de gravedad
Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de gravedad de un objeto conforma de triángulo (si éste es de densidad uniforme). Así, dicho objeto estaría en equilibrio en cualquier transversal de gravedad (línea que pase a través del centro de gravedad ), Las medianas son solo tres transversales de gravedad, del grupo infinito de transversales de gravedad del triángulo.
Teorema de la mediana


fig. m1: Esquema con áreas → ( ).
Artículo principal: Teorema de ApolonioEn geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es un teorema que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.
Teorema de Apolonio (teorema de la mediana)
Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual al la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su medianacorrespondiente.

Apolonio de Perga
Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si M es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

Medianas (fórmulas de aplicación práctica)
Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo). Éstas permiten calcular a partir del conocimiento detres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :
Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )















( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )2 — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).Baricentro

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En geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal, que cualquier recta que pasa por él, divide a dicho segmento en dos partes de igual momentorespecto a dicha recta. En física, el baricentro de un cuerpo material coincide con el centro de masas del mismo cuando el cuerpo es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.
Cálculo del baricentro
Sean A1,... An n puntos, y m1,... mn n números (m como masa). Entonces el baricentro de los ( Ai, mi) es el punto G...