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ISEA PREPARATORIA ABIERTA

Guía-Resumen Matemáticas II
Unidad V a VIII (Modulo I a XVI).

MODULO I
Postulados de orden: El conjunto de los números reales es un campo.
Campo ordenado. Es todo conjunto cuyos elementos cumplen con los seis postulados
de campo para dos operaciones y además guardan un orden al compararse entre ellos.
Postulado 5.1-Tricotomia. Sí x, y ∈ R entonces solo una delas proposiciones
siguientes es verdadera: x > y o x < y o x = y
Postulado 5.2.- Transitivo. Si el numero real es mayor que un segundo numero , y este
mayor que un tercer numero, entonces el primer numero es mayor que el tercero.
x, y, z ∈ R, x > y y y > z ⇒ x > z.
Postulado 5.3 Aditivo: x, y, z ∈ R, x > y ⇒ x + z > y + z.
Postulado 5.4 Multiplicativo: x, y, z ∈ R, z > 0 y x > y + z.Teorema 5.1 a > b ⇔ - a < - b.
Teorema 5.2 a > b si y solo si a < b es positivo
Teorema 5.3 a < b si y solo si b · a es positivo
Teorema 5.4 a > b y c > d, ⇒ ac < bc.
Teorema 5.5 a > b y c > d, ⇒ a + c > b + d.
Teorema 5.6 a, b, c, d, > 0, a > b y c > d ⇒ ac > bd.
1.
Demostrar que el producto de dos números reales ambos positivos o ambos
negativos, siempre es positivo.
2.
Demuestre que si a ∈R, a ≠ 0 ⇒ a ² > 0.
3.
Utilice la definición de menor que, para deducir una conclusión de cada una
de las proposiciones siguientes. La conclusión debe deducirse de la
proposicion dada sin tomar en cuenta el valor de verdad.
a) 6 < 9 o sea: 9-6∈P o 9-6 >0
b) – 5 < - 1 o sea (-1)- (-5) ∈P o (-1)- (-5)>0
c). 2 – (- 4) ∈ P o sea -2 > -4
d) 5 – 8 ∈ P o sea 8 < 5
e) - 3 – (- 1) ∈ P o sea -1 <-3
f)
14 – 7 ∈ P o sea 7 < 14
4.
Aplique en el problema anterior, la definición de mayor que, invierta las
desigualdades de los incisos a) y b).
5.
Justifique cada una de las siguientes implicaciones considerando la verdadera,
complétala cuando no tenga conclusión escrita.
a) -a < 0 ⇒ a ∈ P

b) 3 ∈ P⇒3 > 0

c) a ≠ b y a ≮ b ⇒
d) 3 > 1⇒ 3 – 1 ∈ P
g) 3 < 10 y 10 < 50⇒ 3 < 50
h) 5 > xy x > 0⇒ 5x > x²
i) a es positivo y b + 2 es positivo , entonces a (b + 2) es positivo.
e) 5≮ 3 y 5 ≠ 3 ⇒
j) x < y y < z + 3⇒ x < z + 3
f) x no es mayor que cero y x no es menor que 0 ⇒.

6.

Justifique los pasos dados en la demostración del teorema 5.4.
a < b y c < 0 ⇒ a c < b c.
1. a > b
2. c < 0 - c > 0
3. a (-c) > b (–c)
4. – ac > - b c
5. a c < b c

1

7.
Demuestre elteorema 5.5.
8.
Demuestre el teorema 5.6.
Resuelva las siguientes desigualdades justificando solo los pasos en que aplique
postulados o teoremas de este capitulo.
9.
2x + 1 > 3
Solución 2x + 1 > 3
(2x + 1) + ( -1) > 3 + (- 1 ) postulado 5.3 aditivo
2x > 2
(½) 2x > (½) 2
postulado 5.4 multiplicativo
x>1
{x ∈ R | x > 1}
10. 2x - ½ > 3x + ⅔
3x + 7
11.
−5 x +
2
3
14. Complete lasolución
2x –7 > -3
2x > ________ postulado 5.3
2x >_________ postulado 5.4
__ >____ ____
{x ∈ R | x > 2}
15. Resuelva: 4 –3x > 4

MODULO II
Ordenamiento de los enteros:
Teorema 5.7. 1 > 0
Todos los números naturales son mayores que “0” y por lo tanto sus inversos serán los
números enteros negativos o menores que “0”.
Números racionales. Numero racional es el que se puede representar porel cociente de
dos enteros, denominador diferente de cero.
D = {x | x = a/b, a, b ∈ E, b≠ 0},
D ⊂ R.
Densidad. Entre dos números racionales siempre hay otro número racional.
El numero conocido como promedio de dos o como media aritmética es una prueba
de la propiedad densidad.
a, b ∈ D ⇒ a + b /2 ∈ D
Ejercicios de autoevaluacion:
1. Ordene el siguiente conjunto de números de menor a mayor().
{.1, 0, 01, 1, .12, .123, .012, .1 2 3 5}
3. Si a > b, demuestre que a > a +b / 2 > b. Esta notación representa la conjunción de
a > a + b / 2 y a + b / 2 > b, que demuestra que demuestra la propiedad de los números
racionales llamada densidad a + b / 2 se llama la media aritmética de a y b.
4. Demuestre que: ½ < ¾ < 1.

2

5. Encuentre la media aritmética entre:
a) 2 y 7
b) –3 y...