mate

Derivadas
1 Definición. Reglas de derivación
Ejercicio 1.

Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados:
c) y = x2 + 1 en (3, 10)
d) y = | x | en (1, 1)

a) y = x2x+1 en el origen
b) y = cos(x) en π2 , 0
Solución 1.
a) y (x) =

1−x2
(x2 +1)2

=⇒ y (0) = 1 con lo que la recta tangente en el origen es y = x.

b) y (x) = − sen(x) =⇒ y

π
2

= −1 y la rectatangente que se pide es y = −(x − π2 ).

c) y (x) = 2x =⇒ y (3) = 6. y la recta tangente es y = 10 + 6(x − 3).
d) y (x) = 1 en R+ y, por tanto, y (1) = 1, y la recta tangente que se pide es y = x.
Ejercicio 2.

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) y = sen(x + 3)
b) y = cos2 (x)
1
c) y = cos(x)

d) y = sec(x)
e) y =

f) y =

1+x
1−x

Solución 2.
a) y (x) =cos(x + 3).
b) y (x) = −2 sen(x) cos(x).
c) y (x) =

sen(x)
.
cos2 (x)

d) y (x) =

sen(x)
.
cos2 (x)

e) y (x) =

1
.
(1−x)3 (1+x)

f) y (x) = 23 x(x2 + 1)−2/3 .
Ejercicio 3.
a) f (x) =

√5

Calcula la derivada de las siguientes funciones:
x−

1
√
5
x

5

.

b) f (x) = cos(cos(cos(x))).
c) f (x) = x4 e x log(x).

d) f (x) = x x .
√ √x
e) f (x) = x .
f) f(x) = 12 x | x |.

Solución 3.

–1–

√3

x2 + 1

a) f (x) =

√5

x−

1
√
5
x

4

x−4/5 + x−6/5 .

b) f (x) = − sen(cos(cos(x))) sen(cos(x)) sen(x).
c) f (x) = 4x3 e x log(x) + x4 e x log(x) + x3 e x .
d) f (x) = x x log(x) + 1 .
√ √x 1
1
√ log(x) + √
e) f (x) = x
.
4 x
2 x
f) f (x) = | x |.
Ejercicio 4.

Comprueba que la función f : R → R,
2x, si x < 0,
3x2 ,si x ≥ 0.

f (x) =

es continua pero no es derivable en el origen.
Solución 4.

Es inmediato comprobar que la función es continua y que
lim f (x) = 2 = 0 = lim+ f (x).

x→0−

x→0

Ejercicio 5. Calcula los puntos donde la recta tangente a la curva y = 2x3 − 3x2 − 12x + 40 es
paralela al eje OX.
Solución 5.

Buscamos dónde se anula la derivada:

√
1± 1+8
= 2, −1.
f (x) = 6x −6x − 12 = 0 ⇐⇒ x − x − 2 = 0 ⇐⇒ x =
2
2

Ejercicio 6.

2

Sea f : − π2 , π2 → R definida por:
f (x) =

log (1 − sen(x)) − 2 log(cos(x))
,
sen(x)

si x = 0 y f (0) = a. Estudia para qué valor de a la función f es continua en cero.
Solución 6.

Calculamos el límite de f en el cero aplicando la regla de L’Hôpital y nos queda
lim

x→0

− cos(x)
1−sen(x)

+

2 sen(x)cos(x)

cos(x)

= −1.

Por tanto, f es continua en cero si, y sólo si, a = −1.
E

Ejercicio 7.

Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f : R → R definida por


, si x < 0
arctan exp −1


x2


 2x ,
si 0 ≤ x ≤ 1
f (x) = 
x2 +1



log(x)

1 +
si 1 < x.
x ,

Calcula la imagen de la función.
Solución 7. La función f es continua y derivable en R\ {0, 1}. Para estudiar la continuidad y
derivabilidad en 0 y 1, utilizamos límites laterales:

–2–

lim− f (x) = lim− arctan exp
x→0

x→0

lim+ f (x) = lim+

−1
x2

= arctan(0) = 0,

y

2x
= 0.
+1

x→0 x2

x→0

Por tanto, f es continua en cero. Veamos en 1:
2x
= 1, y
x→1
+1
log(x)
lim f (x) = lim+ 1 +
= 1.
x→1+
x→1
x
lim− f (x) = lim−

x→1 x2

Enconsecuencia, f es continua en toda la recta real.
La derivada, salvo en 0 y 1, vale


exp − 12 23


x
x


si x < 0,

2,


1


 1+ exp − x2
f (x) = 

2−2x2

,
si 0 < x < 1,



( x2 +1)2




 1−log(x)
,
si 1 < x.
x2
Las derivadas laterales en 0 son
lim f (x) = lim+

x→0−

x→0

lim+ f (x) = lim−

x→0

x→0

2
x3

exp − x12

1 +exp − x12
2 − 2x2
x2 + 1

2

2

= 0, y

= 2,

que no coinciden y, por tanto, f no es derivable en 0. En 1,
lim− f (x) = lim−

x→1

x→1

lim+ f (x) = lim+

x→1

x→1

2 − 2x2
x2 + 1

2

= 0, y

1 − log(x)
= 1.
x2

Por tanto f es derivable en R \ {0, 1}.
Para terminar el problema vamos a calcular la imagen de f . Como
f (R) = f (] − ∞, 0]) ∪ f ([0, 1]) ∪ f ([1,...