Mate

Máximos y Mínimos en Funciones Multivariables 
Ing. José María Velásquez       Matemática III.    Ing. Daniel Augusto Sosa          Ing. Eduardo Escapini 

Para  que  una  función  de  la forma  z = f ( x, y )   existan  valores  extremos  se  requiere  como  condición  necesaria  que  todas  sus  primeras derivadas parciales se hagan cero en dichos puntos   Máximos y Mínimos Sin Restricción  

⎧ ∂f ⎪ ∂x = 0 ⎧x = a ⎪ ; resolviendo se obtiene que  ⎨ ( y se pueden tener más soluciones)  Condición Necesaria:  ⎨ ⎩y = b ⎪ ∂f = 0 ⎪ ⎩ ∂y
conocido con el nombre de Hessiano  ( Δ óH )       La condición suficiente para determinar los valores extremos se basa en un determinante de segundas derivadas parciales, el cual es 

Δ=H =

f xx f xy

f xy 2 = f xx f yy − f xyf yy

x = a , y =b

 

Si  Δ > 0 y  f xx ∧ f yy > 0 entonces existe un mínimo local en el punto crítico  ( a , b )   Si  Δ > 0 y 

f xx ∧ f yy < 0entonces existe un máximo local en el punto crítico  ( a, b )  

Si  Δ < 0 el punto crítico  ( a , b ) es un punto de silla (No es ni máximo ni mínimo)  Si  Δ = 0 falla el criterio y debe de investigarse en el contorno de  ( a , b ) : Se sustituirá en la función original un punto cercano a  ( a , b ) para obtener una imagen en:  Si  f ( a, b ) > f ( a + h, b + k ) entonces será un máximo local; en donde  h y  kson pequeños incrementos  Si  f ( a, b ) < f ( a + h, b + k )  entonces será un mínimo local; en donde  h y  k son pequeños incrementos  Para  que  una  función  de  la  forma  w = f ( x1 , x2 , x3 , x4 ,...)   existan valores  extremos  se  requiere  como  condición  necesaria  que  todas sus primeras derivadas parciales se hagan cero:       

⎧ ∂f ⎪ ∂x ⎪ 1 ⎪ ∂f ⎪ ∂x ⎪ 2 ⎪ Condición Necesaria:  ⎨ ∂f ⎪ ∂x ⎪3 ⎪ ∂f ⎪ ∂x ⎪ 4 ⎪ ⎩

=0 =0 =0 =0
; resolviendo se obtiene que  ⎜ x1 , x2 , x3 , x4 ,... ⎟ , teniendo él o los puntos críticos. 

⎛ ⎝

*

*

*

*

⎞ ⎠

   ...