Mate0105










UNIDAD 5



ECUACIONES CUADRÁTICAS










Sesión 1
Actividad Inicial

Es común escuchar preguntas como la siguiente: ¿Si el área de un círculo equivale a 100 m2, cuánto mide el radio del círculo?. O bien, escuchar que el Lic. López quiere cubrir con una lona ahulada la alberca rectangular que tiene en Cuernavaca pero, además desea que la lona exceda un metro de cada lado para que secubra mejor la superficie y se introduzca menos cantidad de hojas de los árboles, en la temporada de otoño; sin embargo, lo único de lo que se acuerda es que tiene un área de 150 m2 y que el largo es 5 m más grande que el ancho de la alberca. ¿Cuáles son los metros de ancho y cuales los de largo que deberá indicar al fabricante de lonas para obtener la suya?

Este tipo de preguntas o problemasconducen a una ecuación cuadrática, cuyos métodos de solución se conocerán en esta unidad.










SESIÓN 5.1
5.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas.

A continuación se presentan diferentes formas de las ecuaciones cuadráticas para conocer la manera de obtener su resolución.

5.1.1 Ecuación cuadrática de la forma: ax2 + c = 0

Si al doble del cuadrado de un número se le resta un 8 el resultadoes cero. ¿Cuál es el número?
Solución
Si x representa el número entonces x2 simboliza el número al cuadrado. La ecuación que expresa el problema sería: 2x2 – 8 = 0
El criterio general para resolver este tipo de ecuaciones es despejar la incógnita. Así, si se tiene la ecuación:
2x2 – 8 =0
Para resolverla se despeja la x:
2x2 = 8
x2 =
x2 = 4
x = ±
x = ± 2
Por lo que, se puede decir que: x1 = +2 y x2 = - 2

Para lograr una mejor comprensión de esta forma de resolver las ecuaciones se analizarán otros ejemplos.

Ejemplo
Obtener (la solución) las raíces de la ecuación: 3x2 – 6 = 0
Solución
3x2 – 6 = 0
Para despejar la x se procede:
3x2 = 6
x2 =
x2 = 2
x = ±
Así, las raíces de la ecuación son: x1 = + y x2 = -

Ejemplo
Obtener las raíces de la ecuación: 5x2 – 2 = 0
Solución
Paradespejar la x se procede:
5x2 = 2
x2 =
x = ±
Así, las raíces son: x1 = + y x2 = -



Ejemplo
Determinar las raíces de la ecuación: x2 – 9 = 0
Solución
x2 = 9
x = ±
x = ± 3
Así, las raíces son x1 = + 3 y x2 = - 3

Ejemplo
Obtener las raíces de la ecuación: 2x2 + 18 = 0
Solución
Para despejar la x se tiene:
2x2 = - 18
x2 = -
x2 = - 9
x = ±
Como se puede observar la solución es la raíz demenos nueve. Sin embargo, no se puede obtener la raíz cuadrada de un número negativo.

En suma para obtener la resolución de una ecuación cuadrática de la forma: ax2 + c = 0, se procede:
Se traslada del otro lado de la igual a c con signo contrario.
Se divide a c por el coeficiente de la x2 y se realiza la operación numérica.
Se obtiene la raíz cuadrada de ambos lados de la igual
Si el radicandoes positivo se indican las dos raíces; si el radicando es negativo se señala que la ecuación no tiene solución.
Ejercicios 5.1
Obtener las raíces o la resolución de las ecuaciones cuadráticas siguientes:
1.- 3x2 – 12 = 0 2.- 5x2 + 15 = 0 x2 – 8 = 0
4.- x2 + 3 = 0 5.- 2x2 – 7 = 0

5.1.2 Ecuaciones cuadráticas de la forma: ax2 + c = d.

Si el triple de un número al cuadrado se le agrega 7 elresultado es 25. ¿Cuál es el número?
Solución

Si x representa el número entonces x2 simboliza el cuadrado del número. La ecuación que expresa el problema es: 3x2 + 7 = 25
De manera similar la manera de obtener la solución de estas ecuaciones cuadráticas es despejar la incógnita.
Así, si se tiene la ecuación:
3x2 + 7 = 25
3 x2= 25 – 7
x2 =
x2 = 6
x = ±
Por lo que, las soluciones del problemason: x1 = + , x2 = -


Para comprobar que las soluciones son correctas se sustituyen en la expresión inicial:
3x2 + 7 = 25 3x2 + 7 = 25
3()2 + 7 = 25 3 ( - )2 + 7 = 25
3(6) + 7 = 25 3(6) + 7 = 25
18 + 7 = 25 18 + 7 = 25
25 = 25 25 = 25

Ejemplo
Obtener las raíces de la ecuación: 5x2 - 16 = 9
Solución
Para despejar la x se tiene:
5x2 = 9 + 16
x2 =
x = ±
Por lo que, x1 = + y...