Matemáticas

MATEMÁTICAS 2 Resumen PP1

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REGLA DE L’HOPITAL Cálculo de límites de la forma lim
xa

f (x) , con f y g derivables en el punto a y lim f ( x )  f (a)  0 y x a g( x )

lim g ( x )  g (a)  0 .
x a

lim

f ( x ) L 'H f ' ( x ) f ' (a )  lim  x a g ( x ) x a g ' ( x ) g ' (a )
 0 ó . 0 

Formas indeterminadas:

También es válida para límites laterales y límites en elinfinito.

1. INTEGRACIÓN (INTEGRAL DE RIEMANN)
1.1 SUPREMOS E ÍNFIMOS Definición: Supremo e Ínfimo Sea f : X  R una función. - f es acotada superiormente cuando su imagen f ( x )  Im f  {f ( x ) : x  X } es un conjunto acotado superiormente  Sup f  Sup (f ( x ))  Sup (Im f ) . - f es acotada inferiormente cuando su imagen f ( x )  Im f  {f ( x ) : x  X } es un conjunto acotadoinferiormente  Inf f  Inf (f ( x ))  Inf (Im f ) . - f es acotada si lo es superior e inferiormente. Lema 1 A, B  R /  x  A   y  B, x  y  Sup( A)  Inf (B) En particular, Sup( A)  Inf (B)     0,  x 0  A  y 0  B / y 0  x 0   Lema 2 A, B  R conjuntos acotados y c  R , también son acotados: A  B  { x  y : x  A, y  B} c  A  {c  x : x  A} Además: 1. Sup( A  B)  Sup( A) Sup(B) 2. Inf ( A  B)  Inf ( A)  Inf (B) 3. Sup(c  A)  c  Sup( A) e Inf (c  A)  c  Inf ( A) si c  0 . 4. Sup(c  A)  c  Inf ( A) e Inf (c  A)  c  Sup( A) si c  0 . Corolario Sean f , g : X  R funciones acotadas y c  R , también son acotados: f g: X R

x  (f  g )( x )  f ( x )  g ( x ) c f : X  R x  (c  f )( x )  c  f ( x )
Además: 1. Sup(f  g )  Sup(f )  Sup(g )2. Inf (f  g )  Inf (f )  Inf (g ) 3. Sup(c  f )  c  Sup(f ) e Inf (c  f )  c  Inf (f ) si c  0 . 4. Sup(c  f )  c  Inf (f ) e Inf (c  f )  c  Sup(f ) si c  0 . Lema 3 Sea f : X  R una función acotada, m  Inf (f ) , M  Sup(f ) y w  M  m . Entonces: w  Sup{| f ( x )  f ( y ) |: x, y  X }

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Lema 4 Sean A'  A y B'  B conjuntos acotadosde números reales. Si a  A  b  B,  a' A'  b' B' / a  a'  b'  b  Sup( A' )  Sup( A)  Inf (B' )  Inf (B) .

1.2 INTEGRAL DE RIEMANN Definición: Partición Una partición del intervalo [a, b] es un subconjunto finito de puntos P  {t 0 , t 1,..., t n }  [a, b] / a  P  b  P De modo que a  t 0  t 1  ...  t n 1  t n  b . El intervalo [t i 1, t i ] de largo t i  t i 1 sellama intervalo i-ésimo de la partición P, con i  1 n . ,..., Es claro que:

 (t
i 1

n

i

 t i 1 )  t n  t 0  b  a

Definición: Refinamiento Sean P y Q particiones de [a, b] , Q refina a P ó Q es un refinamiento de P si P  Q . Notaciones Dada una función f : [a, b]  R acotada, usaremos las notaciones: m  Inf { f ( x ) : x  [a, b] } M  Sup{ f ( x ) : x  [a, b] } Enparticular, m  f ( x )  M x  [a, b] Si P  {t 0 , t1,..., t n } es una partición de [a, b] , las notaciones:

mi  Inf { f ( x ) : x  [t i 1, t i ] } Mi  Sup{ f ( x ) : x  [t i 1, t i ] } Indican, respectivamente, el ínfimo y el supremo de f en cada intervalo i-ésimo de P.
Definición: Suma Inferior y Suma Superior Sea f : [a, b]  R una función acotada y P una partición de [a, b]. 1. Definimosla suma inferior de f relativa a la partición P como el número:

s(f , P )   mi (t i  t i 1 )
i 1
n

n

2. Definimos la suma superior de f relativa a la partición P como el número:

S(f , P )   M i (t i  t i 1 )
i 1

Para cualquier partición P de [a, b] se tiene que: m(b  a)  s(f , P )  S(f , P )  M(b  a) Además:

S(f , P )  s(f , P )   w i (t i  t i 1 )
i 1n

Definición: Integral Inferior e Integral Superior Sea f : [a, b]  R una función acotada. 1. Definimos la integral inferior de f como el número:

 f ( x )dx  Sup { s(f ,P ) : P partición de [a, b] }
a

b

2. Definimos la integral superior de f como el número:

 f ( x )dx  Inf { S(f , P ) : P partición de [a, b] }
a

b

Teorema 1 Sea f : [a, b]  R una función acotada y P...