Matem Ticas III Practica Prof Andr S P Rez

Prof.Andr´
es P´
erez

Matem´
aticas III

“...Ense~
nar en la Universidad, no es impartir clases,
sino contagiar irreverencias...”
Prof. Jes´
us Alberto Le´
on

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´
aticas

Pr´
acticas de Matem´
aticas III

Prof.: Andr´es P´erez

Caracas, Agosto de 2012

UNIDAD I
Pr´acticas: 1 - 2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
•
•
•
•
•EDO de primer orden
Ecuaciones Separables
Ecuaciones Lineales
Ecuaciones reducibles a estas
Aplicaciones de las EDO de primer orden

“Existe al menos un rinc´
on del universo que con toda seguridad
puedes mejorar...y eres t´
u mismo”
Aldous Huxley

4
Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Matem´aticas
Matem´
aticas II (8207)
2012

Pr´
actica 1
Prof. Andr´
es P´
erezE.D.O. de primer orden*

Parte I: Ordenes ∼ Grados ∼ Soluciones
1. En las siguientes ecuaciones diferenciales, determinar el orden, el grado (si es posible), si es lineal o no, la funci´on incognita
y la variable independiente.
1.1) (y ′′ )2 − 3yy ′ + xy = 0
1.2) x4 y(4) + xy ′′′ = ex
1.3) t2 s¨ − ts˙ = sen t
1.4) y(4) + xy ′′′ + x2 y ′′ − xy ′ + sen y = 0
(
1.7)

d2 y
dx2

dn x
= y2 + 1
dyn

1.6)1.8)

d7 b
= 3p
dp7

1.9)

)3/2
+y=x

(

1.5)

(

1.10) s2

d2 t
dt
+ st
=8
ds2
ds

1.11) (y ′ )3 + 5xyy ′ − xy sen t = 0

1.13) t2

d2 y
dy
+t
+ 2y = sen t
2
dt
dt

1.14)

d2 r
dy2
db
dp

)2
+

dr
d2 r
+y
=0
dy2
dy

)7
= 3p

(
)m
1.12) y(n)
+ ay(n) + q(x)y = p(x)

d2 y
+ sen(s + y) = sen s
ds2

1.15)

d3 y
dy
+t
+ (cos2 t)y = t3
3
dt
dt

2. Verifique que las siguientes funciones (expl´ıcitas oimpl´ıcitas) son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales:
2.1) y ′ = 2x
; y = x2 + C
2.2) xy ′ = 2y
; y = Cx2
2.3) yy ′ = e2x

; y2 = e2x + C

2.4) xy ′ = y + x2 + y2

; y = x tan x

2.5) y = arcsen xy

; xy ′ + y = y ′

2.6) y ′ = y2 /(xy − x2 )

;

2.7) y + sen y = x

; (y cos y − sen y + x)y ′ = y

2.8) 1 + y2 + y2 y ′ = 0

; x + y = arctan y

2.9) y ′′ − y ′ = 0

; y1 (x) = ex ,y2 (x) = cosh x

2.10) xy ′ = y + x sen x

; y=x

√
1 − x2 y2

y = Cey/x

∫x
0

2.11) y ′ (x + y) = y ; x = y ln(Cy)
2.13) y ′′ + y = sec x, 0 < x <

π
2

;

sen t
dt
t

2.12) y(4) + 4y ′′′ + 3y = x
y(x) = cos(x) ln(cos x) + x sen x

; y1 (x) = x3 , ∫y2 (x) = e−x + x3
x
2
2
2
2.14) y ′ − 2xy = 1 ; y(x) = ex
e−t dt + ex
0

3. En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el olos valores de r, para el o los cuales la E.D.O. dada
tiene soluciones de la forma y = erx .
3.1) y ′ + 2y = 0

3.2) y ′′ − y = 0

3.3) y ′′ + y ′ − 6y = 0

3.4) y ′′′ − 3y ′′ + 2y ′ = 0

4. En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el o los valores de r, para el o los cuales la E.D.O. dada
tiene soluciones de la forma y = xr , para x > 0.
4.1) x2 y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0

4.2)x2 y ′′ − 4xy ′ + 4y = 0

5. Pruebe que y = Cx4 , es soluci´on general de xy ′ − 4y = 0. Adem´as, Halle dos soluciones particulares y una soluci´on
singular.
6. Considere la EDO, dada por: y ′ = y2 − 1. Demuestre que: y =
singular de la EDO?

1 + Ce2x
, es soluci´on general. ¿Ser´a y = −1 soluci´on
1 − Ce2x

5
7. Demuestre que las siguiente s familias de funciones son soluciones generales de lasEDO asociadas.
7.1) C(x + y)2 = xey/x

; (x2 + y2 )dx + x(x − y)dy = 0

7.2) x2 y + y2 = C

; 2xydx + (x2 + 2y)dy = 0

8. En los problemas dados a continuaci´
on, hallar C1 y C2 de tal forma que las funciones dadas satisfagan las condiciones
iniciales establecidas.
8.1) y(x) = C1 ex + C2 e−x + 4 sen x ; y(0) = 1, y ′ (0) = −1
8.2) y(x) = C1 x + C2 + x2 − 1
; y(1) = 1, y ′ (1) = 2
8.3) y(x) = C1ex + C2 e2x + 3e3x

;

y(0) = 0, y ′ (0) = 0

8.4) y(x) = C1 sen x + C2 cos x + 1 ;

y(π) = 0, y ′ (π) = 0

8.5) y(x) = C1 ex + C2 xex + x2 ex

;

y(1) = 1, y ′ (1) = −1

8.6) y(x) = C1 sen x + C2 cos x

y( π4 ) = 0, y ′ ( π6 ) = 0

;

Parte II: Ecuaciones Separables
9. Hallar la soluci´on general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales a variables separadas:
9.1)

y ′ = e3x − x...