matematica

Cap´
ıtulo 7

Transformaciones complejas
Objetivos
Conocer las propiedades de las transformaciones complejas elementales.
Emplear las transformaciones complejas para construir aplicaciones entre
recintos del plano.

7.1.

Transformaciones complejas elementales

Las funciones de variable compleja son complicadas de representar como
gr´ficas, ya que habr´ de visualizarse como funcionesde dos variables reales
a
ıan
con dos componentes, es decir, como superficies en un espacio de cuatro dimensiones, lo cual es inviable. Por ello es m´s frecuente interpretar las funciones
a
de variable compleja como aplicaciones del plano en s´ mismo, es decir, como
ı
transformaciones del plano. Denotaremos f (z ) = f (x, y ) = (u, v ) = w, donde u,
v son, respectivamente, la parte real eimaginaria de f (z ).
En particular, hemos visto ya que las funciones holomorfas proporcionan
representaciones conformes del plano, ya que son transformaciones que preservan
los ´ngulos. Esta propiedad es de gran importancia para problemas f´
a
ısicos en el
plano relacionados con la ecuaci´n de Laplace.
o
Para ello, recordemos que las funciones arm´nicas son partes reales e imagio
nariasde funciones holomorfas. Y como la composici´n de dos funciones holoo
morfas es una funci´n holomorfa, tenemos que las transformaciones holomorfas
o
llevan soluciones de la ecuaci´n de Laplace a soluciones de la ecuaci´n de Lao
o
place.
Por ello, nos interesa estudiar funciones complejas que transformen subconjuntos del plano en subconjuntos sencillos, por ejemplo, el disco de radio unidad.Estudiando el comportamiento de las funciones sencillas, podremos obtener, por
composici´n, el comportamiento de transformaciones m´s complicadas.
o
a
Recordemos que entre los subconjuntos m´s sencillos del plano real, podemos
a
describir por la ecuaci´n impl´
o
ıcita cuadr´tica,
a
a(x2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 ,
1

(7.1)

circunferencias, si a = 0, o rectas, si a = 0. Si d = 0,pasan por el origen. Si
d = 0, no.
En forma can´nica esta ecuaci´n se reduce, para circunferencias, a
o
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 ,

x0 = −

b
c
(b2 + c2 ) d
, y0 = −
, R2 =
−.
2a
2a
4a2
a

Esta ecuaci´n se puede reescribir en notaci´n compleja como
o
o
¯¯
Az z + Bz + B z + D = 0 ,
¯

(7.2)

con A = a, B = (b − ic)/2, D = d. En forma can´nica,
o
(z − z0 )(z − z0) = R2 .
Decimos que dos puntos z1 , z2 alineados con el centro de una circunferencia
son inversos respecto a ella si verifican
a(x1 x1 + y1 y2 )+

b(x1 + x2 ) + c(y1 + y2 )
¯¯
+ d = 0 ⇔ Az1 z2 + Bz1 + B z2 + D = 0 .
¯
2

La interpretaci´n geom´trica es sencilla en la forma can´nica,
o
e
o
R2 = (z1 − z0 )(z2 − z0 ) = (x1 − x0 )(x2 − x0 ) + (y1 − y0 )(y2 − y0 ) = z0 z1 , z0 z2 ,
yaque indica que el producto de las longitudes de los vectores z0 z1 y z0 z2 es
R2 .
En el caso de rectas, circunferencias degeneradas, los pares de puntos inversos
son sim´tricos respecto a la recta en cuesti´n.
e
o

7.2.

Transformaciones afines

Las transformaciones afines del dominio complejo, muchas veces llamadas
lineales, son de la forma f (z ) = az + b, donde a, b ∈ C.
Si a = 1,la transformaci´n es una traslaci´n de vector b = (b1 , b2 ),
o
o
u = x + b1 ,

v = y + b2 .

Si b = 0, podemos descomponer la transformaci´n f (z ) = az en dos partes.
o
Como a = |a|eiα , f = h ◦ g es el resultado de componer una homotecia de raz´n
o
|a|, g (z ) = |a|z , con una rotaci´n, h, de ´ngulo α: si z = reiφ , h(z ) = rei(α+ϕ) .
o
a
Una construcci´n t´
o ıpica de la geometr´af´ es la raz´n simple de tres
ıa ın
o
puntos, que denotaremos por
[z1 , z2 , z3 ] :=

z3 − z 1
z1 z3
=
,
z3 z2
z2 − z 3

que no es m´s que la proporci´n existente entre los dos segmentos en los que
a
o
divide el punto z3 al segmento z1 z2 en la recta compleja. Si es un n´ mero real,
u
estar´n alineados en el plano.
a
Se puede demostrar que las transformaciones afines...